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Show  your  work  on  all  problems  to  receive  credit.
1.  (10  points)  Evaluate  the  contour  integral
e z
1 z
a dz
on  the  complex  contour
|z|  =  1  (moving  around  it  counter  clockwise)  for:     a)           |a|  <1     b)   |a|  >1
2.  (10  points)    a)  Evaluate  the  complex  number    z  =  Ln  (  2i  ).    Put  your  answer  in   rectangular  (x+iy)  form.    If  there  are  multiple  answers,  give  them  all.
2 b)  Argue  that   e z
= e 2 Re ( )
3.  (15  points)  We  want  to  use  the  Frobenius  method  to  find  a  series  solution  of  the   form
∞
0
C n x s + n  to  the  homogenous  differential  equation:   x y
+ 2 y
a)  Show  that  the  indicial  equations  leads  to  the  roots  s  =  -­‐1  and  s  =  0.
+ y = 0
b)  Using  s  =  0,  obtain  a  series  solution.    You  can  just  list  the  first  three  terms  in  the   series,  and  the  recursion  relation  that  gives  the  rest.   b)  Argue  that  a  second  solution  using  s  =  -­‐1  does  not  exist  (there  has  to  be  a  second   solution,  it  just  can’t  be  written  in  the  Frobenius  form).     x
2
4.  (10  points) y ( x ) =
( ) dt .    Give  an  expression  for  dy/dx.   x
5.  (15  points)  The  electrostatic  potential,  V,  on  the  surface  of  a  sphere  of  radius,  a,  is   given  by  V(r=a,
θ
,
φ
)  =  V
0
(2-­‐3Cos 2 θ).    In  the  region  outside  of  the  sphere  (  a<  r  <  ∞  )
separation  of  variables  (you  don’t  have  to  go  through  the  full  separation  process,   just  use  the  outcome  correctly)  find  an  expression  for  the  potential  in  the  region   outside  of  the  sphere.
Useful  information  on  Legendre
Polynomials:
∇ 2 V  =  0.    Using
1 1 1
P
0
( x ) = 1, P
1
( x ) = x , P
2
( x ) = (-1 + 3 x
2
), P
3
( x ) = (-3 x + 5 x
3
), P
4
( x ) = (3 - 30 x
2
+ 35 x
4
2 2 8
Orthogonality  relation:
1
− 1
P l
( x ) P m
( x ) dx =
2 l
2
+ 1
δ lm
6.  (10  points)  Obtain  the  Fourier  Transform  of  the   function  to  the  right.
)

7.  Short  answer  questions.    It’s  not  enough  just  to  give  and  answer,  you  have  to  give   a  brief  explanation  to  get  credit.  (5  points  each)
a)  True  or  False.    For  z  in  the  complex  plane,  if  |z  -­‐  2|  <  3,  the    -­‐1  <  z  <  5.
b)  The  homogeneous  differential  equation  for  a  damped  (but  not  driven)  harmonic   oscillator  can  be  written  as:     (D-­‐a)(D-­‐b)  X(t)   =0    where   X(t)   is  the  position  as  a   function  of  time  and   D  is  the  derivative  operator  with  respect  to  time.    If  the   harmonic  oscillator  is  over  damped,  which  of  the  following  is  true.
1.  a  =  b
2.  a  and  b  are  both  imaginary
3.  a  and  b  are  both  real
4.  a  and  b  are  both  complex  (having  real  and  imaginary  parts)
c)    Which  of  the  following  are  linear  operators?
1.  D 3
2.  Integration
3.  Taking  a  Logarithm
4.  Obtaining  the  Argument  of  a  complex  number  or  function
d)  If  we  want  to  solve  Laplace’s  equation  in  3-­‐d  in  cylindrical  coordinates  (a  partial
differential  equation)  by  separation  of  variables,  we  expect  to  get:
1.  3  ordinary  D.E.  and  2  constants  of  separation
2.  3  ordinary  D.E.  and  3  constants  of  separation
3.  2  ordinary  D.E.  and  2  constants  of  separation
e)  We  want  to  find  all  fourth  roots  to  the  complex  number  z  =  3+ 7i   (that  is,  we  want
to  find
(3 + 7 i )
1
4
).    How  many  roots  are  we  looking  for?
€ f)  Consider  the  Fourier  Trig  Series  of  the  periodic  triangle  wave  function  in  the
figure.
Which  of  the  following  are  true
(could  be  more  than  one):
1.    There  is  no  constant  term
2.    There  are  no  Sine  terms
3.    There  are  no  Cosine  terms
4.    There  will  be  a  Gibb’s  phenomena       feature  at  the  origin  (x=0).