Topics in Probability: Lévy Processes
Math 7880-1; Spring 2011
Davar Khoshnevisan
��� S���� ���� E��� JWB ���, D��������� �� M����������, U��������� �� U���, S��� L��� C��� UT �����–����
E-mail address: davar@math.utah.edu
URL: http://www.math.utah.edu/˜davar
Contents
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
The Lévy–Khintchine formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
What is a Lévy process? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Infinite divisibility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On equation (1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problems for Lecture 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
4
6
Some Examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
The asymmetric Cauchy distribution on the line . . . . . . . . . . . .
11
Nonstandard Brownian motion with drift . . . . . . . . . . . . . . . .
Isotropic stable laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The Gamma distribution on the half line . . . . . . . . . . . . . . . .
Problems for Lecture 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
12
12
Continuous-Parameter Martingales . . . . . . . . . . . . . .
13
Modifications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Filtrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problems for Lecture 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
14
17
Poisson Random Measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
Problems for Lecture 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
A construction of Poisson random measures . . . . . . . . . . . . . .
The Poisson process on the line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
21
iii
iv
Poisson Point Processes . . . . .
A construction of Poisson point processes
Compound Poisson processes . . . . . . .
Problems for Lecture 5 . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Structure Theory . .
The Lévy–Itô decomposition .
Symmetry and isotropy . . . .
Problems for Lecture 7 . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
The Strong Markov Property . . . . . .
Transition measures and the Markov property .
The strong Markov property . . . . . . . . . . . .
Feller semigroups and resolvents . . . . . . . . .
The Hille–Yosida theorem . . . . . . . . . . . . . .
The form of the generator . . . . . . . . . . . . . .
Problems for Lecture 9 . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Recurrence and Transience
The recurrence/transience dichotomy
The Port–Stone theorem . . . . . . . . .
Problems for Lecture 11 . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Contents
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
24
26
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
31
31
36
37
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
49
51
53
55
56
57
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
67
69
71
Lévy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
The Lévy–Itô construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problems for Lecture 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Subordinators
Laplace exponents . . .
Stable subordinators . .
Subordination . . . . . .
Problems for Lecture 8
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Potential theory . .
Potential measures . . . . . . .
The range of a Lévy process
Problems for Lecture 10 . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Excessive Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Absolute continuity considerations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
27
30
39
39
40
45
46
59
59
60
66
73
73
Contents
v
Excessive functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
Energy and Capacity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Lévy processes that hit points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problems for Lecture 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polar and essentially-polar sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
77
79
An energy identity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Additive Lévy Processes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
Proof of Theorem 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problems for Lecture 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
84
85
An addition theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Problems for Chapter 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
A connection to Hausdorff dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . .
An application to subordinators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
89
Local Times . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
Inverse local time and the Hausdorff dimension of the zero set . .
97
Regularity of the 1-potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Local times as occupation densities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problems for Lecture 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
94
99
Bibliography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101