You need 25 points to pass.
1. Recall that an isomorphism of a group onto itself is called an automorphism. Prove
that for a group G the map g 7→ g −1 is an automorphism if and only if G is abelian. (2
points)
2. Find the number of elements of order 2 in the symmetric group S4 . (4 points)
3. (a) Show that the number of cycles of length n in Sn is (n − 1)!. (3 points)
(b) More generally, for k ≤ n find the number of cycles of length k in Sn . (2 points)
4. Recall that the center Z(G) of a group G consists of elements g ∈ G such that gh = hg
for any h ∈ G. Show that
of GL(2, R) consists of nonzero scalar matrices, that is,
the center
λ 0
of matrices of the form
, λ 6= 0. (4 points)
0 λ
5. Denote by Aut(G) the set of all automorphisms of a group G.
(a) Show that Aut(G) is a subgroup of the permutation group SG . (2 points)
(b) For g ∈ G consider the map ιg : G → G defined by ιg (h) = ghg −1 . Show that ιg is an
automorphism of G. Such automorphisms are called inner. (2 points)
(c) Denote by Inn(G) the set of inner automorphisms. Show that Inn(G) is a normal
subgroup of Aut(G). The group Out(G) = Aut(G)/Inn(G) is called the group of outer
automorphisms of G. (3 points)
6. Consider the Klein group G = Z2 × Z2 . Describe the group Aut(G). (5 points)
7. Let G be a group, H and K subgroups of G.
(a) Show that if K is of finite index in G, then H ∩ K is of finite index in H. (3 points)
(b) Show that if H and K are of finite index in G, then H ∩ K is of finite index in G.
(2 points)
8. (a) Prove that if G acts on a set X then for any x ∈ X and g ∈ G we have
Ggx = gGx g −1 . (2 points)
(b) Using Burnside’s formula show that if a finite group G acts transitively on a set X
with |X| ≥ 2, then there exists g ∈ G such that gx 6= x for any x ∈ X. (2 points)
(c) Show that if H is a proper subgroup of a finite group G, then G 6= ∪g∈G gHg −1 .
(3 points)
(d) Show by example that (c) is not true for infinite groups. (6 points)
Du trenger 25 poeng for å få bestått.
1. Husk at en isomorfi av en gruppe på seg selv kalles en automorfi. Bevis at for en
gruppe G er avbildningen g 7→ g −1 en automorfi hvis og bare hvis G er abelsk. (2 poeng)
2. Finn antall elementer av orden 2 i den symmetriske gruppen S4 . (4 poeng)
3. (a) Bevis at antall sykler av lengde n i Sn er (n − 1)!. (3 poeng)
(b) Mer generelt, for k ≤ n finn antall sykler av lengde k i Sn . (2 poeng)
4. Husk at senteret Z(G) til en gruppe G består av alle elementer g ∈ G slik at gh = hg
for alle h ∈ G. Bevis at senteret
R) består av skalar matrisene forskjellig fra null,
til GL(2,
λ 0
, λ 6= 0. (4 poeng)
nemlig, matrisene på formen
0 λ
5. La Aut(G) være mengden av alle automorfier av en gruppe G.
(a) Vis at Aut(G) er en undergruppe av permutasjongruppen SG . (2 poeng)
(b) For g ∈ G betrakt avbildningen ιg : G → G definert med ιg (h) = ghg −1 . Vis at ιg er
en automorfi av G. Slik automorfier kalles indre. (2 poeng)
(c) La Inn(G) være mengden av indre automorfier. Vis at Inn(G) er en normal undergruppe av Aut(G). Gruppen Out(G) = Aut(G)/Inn(G) kalles gruppen av ytre automorfier
av G. (3 poeng)
6. Betrakt Klein gruppen G = Z2 × Z2 . Bestem gruppen Aut(G). (5 poeng)
7. La G være en gruppe, H og K undergrupper av G.
(a) Vis at hvis K har endelig indeks i G, så har H ∩ K endelig indeks i H. (3 poeng)
(b) Vis at hvis H og K har endelig indeks i G, så har H ∩K endelig indeks i G. (2 poeng)
8. (a) Vis at hvis G virker på en mengde X, så er Ggx = gGx g −1 for alle x ∈ X og g ∈ G.
(2 poeng)
(b) Ved bruk av Burnsides formelen vis at hvis en endelig gruppe G virker transitivt på
en mengde X med |X| ≥ 2, så finnes g ∈ G slik at gx 6= x for alle x ∈ X. (2 poeng)
(c) Vis at hvis H er en ekte undergruppe av en endelig gruppe G, så er G 6= ∪g∈G gHg −1 .
(3 poeng)
(d) Vis med eksempel at (c) ikke er sant for uendelig grupper. (6 poeng)