Hindawi Publishing Corporation
Journal of Inequalities and Applications
Volume 2010, Article ID 589618, 17 pages
doi:10.1155/2010/589618
Research Article
Contiguous Extensions of Dixon’s Theorem on
the Sum of a 3 F2
Junesang Choi
Department of Mathematics, Dongguk University, Gyeongju 780-714, South Korea
Correspondence should be addressed to Junesang Choi, junesang@mail.dongguk.ac.kr
Received 7 October 2009; Accepted 25 February 2010
Academic Editor: Yeol J. E. Cho
Copyright q 2010 Junesang Choi. This is an open access article distributed under the Creative
Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in
any medium, provided the original work is properly cited.
In 1994, Lavoie et al. have succeeded in artificially constructing a formula consisting of twenty
three interesting results, except for five cases, closely related to the classical Dixon’s theorem on
the sum of a 3 F2 by making a systematic use of some known relations among contiguous functions.
We aim at presenting summation formulas for those five exceptional cases that can be derived by
using the same technique developed by Bailey with the help of Gauss’s summation theorem and
generalized Kummer’s theorem.
1. Introduction and Preliminaries
The generalized hypergeometric series p Fq is defined by see 1, page 73
p Fq
∞ α · · · α
1 n
p
zn
z n
n!
β1 , . . . , βq ;
n0 β1 n · · · βq n
p F q α1 , . . . , αp ; β1 , . . . , βq ; z ,
α1 , . . . , αp ;
1.1
where λn is the Pochhammer symbol defined for λ ∈ C by see 2, pages 2 and 6
λn :
⎧
⎨1,
n 0,
⎩λλ 1 · · · λ n − 1,
n ∈ N : {1, 2, 3, . . .}
Γλ n
Γλ
λ ∈ C \ Z−0 ,
1.2
2
Journal of Inequalities and Applications
and Z−0 denotes the set of nonpositive integers and Γλ is the familiar Gamma function.
Here p and q are positive integers or zero interpreting an empty product as 1, and we
assume for simplicity that the variable z, the numerator parameters α1 , . . . , αp , and the
denominator parameters β1 , . . . , βq take on complex values, provided that no zeros appear
in the denominator of 1.1, that is,
∈ Z−0 ; j 1, . . . , q .
βj /
1.3
Thus, if a numerator parameter is a negative integer or zero, the p Fq series terminates in view
of the identity see 2, page 7
⎧
k
⎪
⎪
⎨ −1 n! ,
n − k!
−nk ⎪
⎪
⎩0,
0 ≤ k ≤ n; n ∈ N,
1.4
k > n.
In fact, p Fq is a natural generalization of the hypergeometric function or series
2F1
a, b; c; z 2 F1
a, b z Fa, b; c; z.
c 1.5
Gauss proved his famous summation theorem see 1, page 49, Theorem 18
ΓcΓc − a − b
Γc − aΓc − b
Rc − a − b > 0; c /
∈ Z−0 .
2 F 1 a, b;
c; 1 1.6
Kummer presented the summation theorem for 2 F1 −1 see 1, page 68, equation 1
2 F1
Γ1 a − bΓ1/2
−1 a
2
Γ1
− bΓ1/2 1/2a
1/2a
1a−b
Rb < 1; 1 a − b /
∈ Z−0 .
a, b
1.7
Dixon gave the following classical summation formula for 3 F2 1 see 1, page 92:
3 F2
Γ1 a/2Γ1 a − bΓ1 a − cΓ1 a/2 − b − c
, 1.8
1 Γ1 aΓ1 a/2 − bΓ1 a/2 − cΓ1 a − b − c
1 a − b, 1 a − c
a, b, c
where Ra − 2b − 2c > −2.
Journal of Inequalities and Applications
3
Lavoie et al. 3 presented a general, artificially constructed, form of the Dixon’s
theorem 1.8:
fi,j a, b, c : 3 F2
1
1 a − b i, 1 a − c i j i −3, −2, −1, 0, 1, 2; j 0, 1, 2, 3
a, b, c
1.9
by making a systematic use of the relations among contiguous functions given by Rainville
1, page 80, except for the cases
i, j 3, 1, 3, 2, 3, 3, 2, 3, and 1, 3.
1.10
Very recently, Kim and Rathie 4 derived twenty five transformation formulas in the form
of a single identity for the hypergeometric series X8 introduced by Exton by making use of
generalized Watson’s theorem 5.
Here, in order to present the five exceptional formulas not given by Lavoie et al. 3,
equation 2, page 268, we will first give further extension tables, as in Lemma 1.1, of the
generalized formulas of the Kummer’s theorem 1.7 obtained by Lavoie et al. 6 and then
derive the summation formulas of
Ii,j a, b, c ΓaΓbΓc
fi,j a, b, c
Γ1 a − b iΓ 1 a − c i j
1.11
for the cases in 1.10, by using the same technique developed by Bailey 7 with the help of
Gauss’s theorem 1.6 and some identities in Lemma 1.1.
Lemma 1.1. One gives further extension tables of the generalized formulas of the Kummer’s theorem
1.7 obtained by Lavoie et al. [6]:
2
F1
Γ1/2Γ1 − bΓ1 a − b i
−1 2a Γ1 − b i/2 |i|/2
1a−bi Ai
·
Γa/2 − b i/2 1Γa/2 i/2 1/2 − 1 i/2
Bi
.
Γa/2 − b i/2 1/2Γa/2 i/2 1/2 − i/2
a, b
1.12
for i 0, ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±7, ±8, ±9. Here x denotes the greatest integer less than or
equal to x and |x| its absolute value. The coefficients Ai and Bi are given in Tables 1 and 2.
4
Journal of Inequalities and Applications
Table 1: Table for Ai and Bi .
i
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Ai
−16a4 72a3 b − 108a2 b2
60ab3 23b4 − 328a3
972a2 b − 792ab2 150b3
−2240a2 3612ab − 999b2
−5696a 3162b − 3984
8a4 − 32a3 b 40a2 b2
−16ab3 b4 128a3
−312a2 b 176ab2 − 10b3
624a2 − 672ab 35b2
896a − 50b 24
7b3 − 28ab2 28a2 b − 8a3
−100a2 196ab − 70b2
−352a 245b − 302
4a3 − 12a2 b 9ab2 − b3
36a2 − 51ab 6b2
74a − 11b 6
10ab − 4a2 − 5b2
−26a 25b − 32
2a2 − 4ab b2
8a − 3b 2
3b − 2a − 5
1a−b
−1
1
Bi
16a4 − 56a3 b 60a2 b2
−20ab3 b4 248a3
−516a2 b 240ab2 − 10b3
1160a2 − 1028ab 35b2
1576a − 50b 24
8b3 − 40ab2 48a2 b
−16a3 − 192a2 312ab
−88b2 − 640a 352b − 512
8a3 − 20a2 b 12ab2
−b3 68a2 − 76ab
6b2 128a − 11b 6
16ab − 8a2 − 6b2
−48a 34b − 52
4a2 − 6ab b2
14a − 3b 2
4b − a − 2
2a − b 1
−2
1
0
Proof. It is not difficult, even though a little complicated, to prove the identities given here by
making a main use of the following contiguous relation see 1, equation 15, page 71:
c − 1 a b 1 − 2czF c − 11 − z Fc− −
1
c − ac − b zFc.
c
1.13
2. Further Contiguous Extension Formulas of 1.8
In the sake of a little brevity, summation formulas of Ii,j a, b, c are given for the cases 1.10.
Theorem 2.1. Without restrictions for each formula, one just gives the above-mentioned summation
formulas:
I3,1 a, b, c α3,1
Γb − 3Γc − 4Γ1/2a 1/2Γ1/2a − b − c 9/2
Γa − b − c 5Γ1/2a − b 5/2Γ1/2a − c 7/2
β3,1
Γb − 3Γc − 4Γ1/2a 1/2Γ1/2a − b − c 5
Γa − b − c 5Γ1/2a − b 2Γ1/2a − c 3
γ3,1
Γb − 3Γc − 4Γ1/2a 1/2
Γb − 3Γc − 4
δ3,1
,
Γa − b − c 5Γ1/2a 1
Γa − b − c 5
2.1
Journal of Inequalities and Applications
5
Table 2: Table for Ai and Bi .
i
Ai
16a4 − 72a3 b 108a2 b2
−60ab3 9b4 − 320a3
972a2 b − 828ab2 174b3
2240a2 − 3936ab 1323b2
−6400a 4614b 6144
8a4 − 32a3 b 40a2 b2
−16ab3 b4 − 128a3
328a2 b − 208ab2 22b3
688a2 − 928ab 179b2
−1408a 638b 840
8a3 − 28a2 b 28ab2 − 7b3
−96a2 196ab − 77b2
352a − 294b − 384
4a3 − 12a2 b 9ab2 − b3
−36a2 57ab − 12b2
92a − 47b − 60
4a2 − 10ab 5b2
−24a 25b 32
2a2 − 4ab b2
−8a 5b 6
2a − 3b − 4
a−b−1
1
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
Bi
16a4 − 56a3 b 60a2 b2
−20ab3 b4 − 256a3
564a2 b − 300ab2 26b3
1376a2 − 1568ab 251b2
−2816a 1066b 1680
16a3 − 48a2 b 40ab2
−8b3 − 192a2 328ab − 104b2
704a − 480b − 768
8a3 − 20a2 b 12ab2 − b3
−72a2 92ab − 15b2
184a − 74b − 120
8a2 − 16ab 6b2
−48a 38b 64
4a2 − 6ab b2
−16a 7b 12
4a − b − 2
2a − b − 2
2
1
where
9
a
11
a
−b−c
−b−c
2
2
2
2
1
9
a
1
b − 3c − 44a − 3c 3
−b−c
b − 2b − 3c − 3c − 4,
2
2
2
2
a
2
−b−c5 ,
c − a − 1a − 1
a
2
2
b − 1b − 2b − 3c − 2c − 3c − 4 a − c 2b − 2b − 3c − 3c − 4
3
1
1
c − 11 − 2a 2a2 b − 3c − 4 a − 1a − 2a − c 1,
2
2
α3,1 a − 2a − c 1
β3,1
γ3,1
δ3,1 −
22a 3
b − 1b − 2b − 3c − 2c − 3c − 4
3a 1a 3
1
c − 4a − 2b − 2b − 3c − 3c − 4 a − 1a − 2c − 1
2
1
b − 3c − 4{c − 12a − 1 − 4a},
2
2.2
6
Journal of Inequalities and Applications
I3,2 a, b, c α3,2
Γb − 3Γc − 5Γ1/2a 1/2Γ1/2a − b − c 11/2
Γa − b − c 6Γ1/2a − b 5/2Γ1/2a − c 9/2
β3,2
Γb − 3Γc − 5Γ1/2a 1/2Γ1/2a − b − c 5
Γa − b − c 6Γ1/2a − b 2Γ1/2a − c 4
γ3,2
Γb − 3Γc − 5Γ1/2a 1/2
Γb − 3Γc − 5
δ3,2
,
Γa − b − c 6Γ1/2a 1
Γa − b − c 6
2.3
where
13
a
11
a
−b−c
−b−c
{c − 12a − c 2 − aa 1}a − 2
2
2
2
2
1
11
a
{c − 18a − 3c 6 − 5aa 1}b − 3c − 5
−b−c
2
2
2
α3,2
1
4c − 5a − 9b − 2b − 3c − 4c − 5,
4
β3,2 γ3,2 a1
b − 2b − 3c − 4c − 5
2a 2
a
a
2
2a 12
−b−c5
−b−c6
c − 2 − 2ac − 1 a − 1
a
a2
2
2
a
1
3a 12
−b−c5 ,
c − 1c − 2 41 − c b − 3c − 5
a
a2
2
a − 11 − cc − 2
aa − 2 2b − 2c − 5{1 b − 2c − 4}
2a
1 − cc − 2b − 3c − 5
{a 2b − 2c − 4}
2a
2b − 3c − 1c − 5
aa 2 2b − 2c − 4{a 2 b − 1c − 3}
a2
2a − 1c − 1 aa 2
{a − 2 2b − 3c − 5}
a2
2
2
b − 2b − 3c − 4c − 5 a 2 b − 1c − 3
3
−
a 1b − 2b − 3c − 4c − 5
2a 22 a 4
× a 2a 4 2b − 1c − 3{a 4 bc − 2}
−
3a 12 b − 3c − 5
2a 22 a 4
a 2a 4{a 2b − 2c − 4}
2
2b − 1b − 2c − 3c − 4 a 4 bc − 2
3
Journal of Inequalities and Applications
1 − aa 12
2a 22 a 4
7
aa 2a 4{a − 2 2b − 3c − 5}
2b − 2b − 3c − 4c − 5
2
× a 2a 4 a 4b − 1c − 3
3
1
bb − 1c − 2c − 3
3
δ3,2 ,
a − 2c − 1c − 2
a − 1a 1 2b − 3c − 5{a 1 b − 2c − 4}
2a 1
3b − 3c − 1c − 2c − 5
{a 1 2b − 2c − 4}
2a 1
2b − 2b − 31 − cc − 4c − 5
{a 3 2b − 1c − 3}
a 1a 3
4ab − 31 − cc − 5
a 1a 3 2b − 2c − 4{a 3 b − 1c − 3}
a 1a 3
2aa − 21 − c
1
a 1a 3 a − 1 b − 3c − 5
2
a 1a 3
2
b − 2b − 3c − 4c − 5 a 3 b − 1c − 3
3
5b − 2b − 3c − 4c − 5
a 3a 5 2b − 1c − 3{a 5 bc − 2}
2a 3a 5
5ab − 3c − 5
a 5{a 1a 3 2a 2b − 2c − 4}
2a 3a 5
2
2b − 1b − 2c − 3c − 4 a 5 bc − 2
3
aa − 2
1
1a
3a
5
−
1
−
3c
−
5
a
a
b
2
a 3a 5
a 3a 5b − 2b − 3c − 4c − 5
1
b − 1b − 2b − 3c − 3c − 4
3
× c − 5{2a 5 bc − 2} ,
8
Journal of Inequalities and Applications
I3,3 a, b, c α3,3
Γb − 3Γc − 6Γ1/2a 1/2Γ1/2a − b − c 11/2
Γa − b − c 7Γ1/2a − b 5/2Γ1/2a − c 11/2
β3,3
Γb − 3Γc − 6Γ1/2a 1/2Γ1/2a − b − c 6
Γa − b − c 7Γ1/2a − b 2Γ1/2a − c 5
γ3,3
Γb − 3Γc − 6Γ1/2a 1/2
Γb − 3Γc − 6
δ3,3
,
Γa − b − c 7Γ1/2a 1
Γa − b − c 7
2.4
where
11
a
13
a
15
a
−b−c
−b−c
−b−c
2
2
2
2
2
2
· a − 21 − c c2 − 3ac 2a − 5c 2 aa 1a − c 3
α3,3
1
11
a
13
a
b − 3c − 6
−b−c
−b−c
2
2
2
2
2
× aa 16a − 5c 17 1 − c 3 c2 − 5c 2 4a2 − 3c
1
11
a
b − 2b − 3c − 5c − 6
−b−c
4
2
2
· {2c − 13c − 2 a 19a − 5c 23}
β3,3
1
a 1b − 1b − 2b − 3c − 4c − 5c − 6,
4
a
a
−b−c6
−b−c7
21 − a
2
2
a − c 3a 12
· c − 13c − 2 a2
a
3a 1
21 − cb − 3c − 6
− b − c 6 3c − 2 −
2
a2
γ3,3 a1
b − 2b − 3c − 5c − 6c − 3a − 7 − 4a 12 b − 3c − 6,
2a 2
1
a 1b − 2b − 3c − 5c − 6
2
· {a 1a − c 4 1 − ca − 6c 6 3}
a 12 2a 11 − c
ab − 3c − 6 ac − 13c − 2 a 1 2a 2
1
a 12 a − c 3
,
aa − 1a − 2 c − 13c − 2 2
a2
3
Journal of Inequalities and Applications
9
δ3,3 b − 2b − 3c − 5c − 6
× c − 1 c2 − 5c 2 a 11 − c3c − 2
1
1
2
2
c − 1 2a 6a 5 − a 2 2a 8a 9
2
2
1
b − 3c − 6 1 − c 2a2 3c − 2 − 2a 1
2
aa 1{2a 1c − 1 − 2a 1a 2}
1
a − 1a − 2 c − 1 c2 − 5c 2 aa − 3c 3 − aa 2 ,
2
I2,3 a, b, c α2,3
Γb − 2Γc − 5Γ1/2aΓ1/2a − b − c 9/2
Γa − b − c 6Γ1/2a − b 3/2Γ1/2a − c 9/2
β2,3
Γb − 2Γc − 5Γ1/2aΓ1/2a − b − c 5
Γa − b − c 6Γ1/2a − b 2Γ1/2a − c 5
γ2,3
Γb − 2Γc − 5Γ1/2a
Γb − 2Γc − 5
δ2,3
,
Γa − b − c 6Γ1/2a 1/2
Γa − b − c 6
2.5
where
α2,3 3a2 1 − ca − 4c 5 a
9
11
1 2
a
c − 5c 1 −b−c
−b−c
2
4a 1
2
2
2
2
3a1 − ca − 2c 3 aa 2
{2a 22a 3 b − 1c − 4}
4a 1
4a 3
· b − 2c − 5
β2,3 a
9
−b−c
,
2
2
1
a − 1 c2 − 5c 1 − 3ac − 1 a − 1c − 1 − a2 2a 4
2
a
a
−b−c5
−b−c6
·
2
2
5
3
1
c2 − 5c 1 ac − 14a − 3c 7 − aa 1a 2
2
2
2
1
6c − 5a − 16ab − 1b − 2c − 4c − 5,
8
10
Journal of Inequalities and Applications
γ2,3 b − 2c − 5 c2 − 5c 1 −
δ2,3
3ac − 12
2a 1
2a 1
3
3aa 22
2a
aa 1c − 1 −
1
4
2a 3
3
3a2 c − 1a − 4c 5 a2 a 22
a−1 2
c − 5c 1 −
,
2
4a 1
a3
3
1
b − 2c − 5 − c2 − 5c a 2a 1c − 12
a
2
1
31 − c a2 − 2 a 2 2a2 a − 7
2
1
1 − a c2 − 5c 1
2
a
3a − 1c − 12 31 − c a2 − 2a 4 a 2 a2 − 2a − 6 ,
2
I1,3 a, b, c α1,3
Γb − 1Γc − 4Γ1/2a 1/2Γ1/2a − b − c 7/2
Γa − b − c 5Γ1/2a − b 3/2Γ1/2a − c 9/2
β1,3
Γb − 1Γc − 4Γ1/2a 1/2Γ1/2a − b − c 4
Γa − b − c 5Γ1/2a − b 1Γ1/2a − c 4
γ1,3
Γb − 1Γc − 4Γ1/2a 1/2
Γb − 1Γc − 4
δ1,3
,
Γa − b − c 5Γ1/2a
Γa − b − c 5
2.6
where
α1,3 7
9
a
1 a
−b−c
−b−c
2 2
2
2
2
· aa 1a 22 − c2 − 5c 1 3a1 − c2 − c a
1
7
a
b − 1c − 4
−b−c
4
2
2
· 6c − 12 9a 11 − c 4a 1a 2
β1,3
1
a 1bb − 1c − 3c − 4,
4
a
−b−c4
2
c2 − 5c 1
a 12
2
− 3c − 1 ·
3c − a − 5
a
a2
a1
3a 12 c − 1
b − 1c − 43c − 2a − 7,
a2
2a 2
Journal of Inequalities and Applications
11
c2 − 5c 1
a 3c − 1a 12
3c − 12 −
,
a
a2
3
1
1 2
c − 5c 1 ac − 1a − c 2 − aa 1a 22 .
2
2
2
γ1,3 −
δ1,3
2.7
3. Proof of Theorem 2.1
We will prove only I3,2 a, b, c. The other formulas in Theorem 2.1 can be shown as in the
proof of I3,2 a, b, c. We begin by writing
I3,2 a, b, c ∞
n0
∞
n0
Γa nΓb nΓc n
n!Γ4 a − b nΓ6 a − c n
Γa 2n 4Γa − b − c 6
Γa nΓb nΓc n
·
,
n!Γ4 a − b nΓ6 a − c n Γa 2n 4Γa − b − c 6
3.1
by which the bold face factors are multiplied. Rearranging the factors in the last sum to use
the Gauss’s summation theorem 1.6, we get
∞
Γa nΓb nΓc n
Γa 2n 4Γa − b − c 6
·
n!Γa 2n 4Γa − b − c 6 Γ4 a − b nΓ6 a − c n
n0
∞
b n, c − 2 n Γa nΓb nΓc n
·2 F1
1 .
n!Γa 2n 4Γa − b − c 6
a 2n 4 n0
I3,2 a, b, c 3.2
Rewriting the last 2 F 1 and using a manipulation of double series, we obtain
I3,2 a, b, c ∞ ∞
c − 1 nc − 2 nΓa nΓb n mΓc − 2 n m
n!m!Γa − b − c 6Γa 4 2n m
n0 m0
∞ m
c − 1 nc − 2 nΓa nΓb mΓc − 2 m
m0 n0
·
n!m − n!Γa − b − c 6Γa 4 n m
Γam!Γa 4 m
.
Γam!Γa 4 m
3.3
∞
Γb mΓc − 2 mΓa
m!Γa − b − c 6Γa 4 m
m0
·
m
m!c − 1 nc − 2 nΓa nΓa 4 m
n0
m − n!n!ΓaΓa 4 m n
.
12
Journal of Inequalities and Applications
Separating the last summation, we find that
I3,2 a, b, c ∞
Γb mΓc − 2 mΓa
m!Γa
− b − c 6Γa 4 m
m0
3.4
· {c − 1c − 2Pa, m 2c − 1Qa, m Ra, m},
where
Pa, m m
n0
Qa, m m
n0
Ra, m m!
Γa nΓa 4 m
,
n!m − n! ΓaΓa 4 m n
Γa nΓa 4 m
m!n
,
n!m − n! ΓaΓa 4 m n
m
m!nn − 1 Γa nΓa 4 m
n0
n!m − n! ΓaΓa 4 m n
3.5
.
Using 1.2 and 1.4 to express Pa, m, Qa, m, and Ra, m in the forms of 2 F1 −1,
3.4 is rewritten as follows:
I3,2 a, b, c Aa, b, c Ba, b, c Ca, b, c,
3.6
where
∞
Γb mΓc − 2 m
c − 1c − 2Γa F1
Aa, b, c Γa − b − c 6 m0
m!Γa 4 m 2
Ba, b, c Ca, b, c a, −m −1 ,
a4m ∞
2c − 1Γa 1 mΓb mΓc − 2 m
Γa − b − c 6 m0
m!Γa 5 m
a 1, 1 − m · 2 F1
−1 ,
a5m 3.7
∞
Γa 2
mm − 1Γb mΓc − 2 m
Γa − b − c 6 m0
m!Γa 6 m
a 2, 2 − m · 2 F1
−1 .
a6m Applying some appropriate formulas in Lemma 1.1 to 2 F1 −1 in 3.6, we obtain
Aa, b, c 4
j1
Aj a, b, c,
3.8
Journal of Inequalities and Applications
13
where
A1 a, b, c a − 21 − cc − 2Γa/2 1/2
Γa − b − c 6
⎤
b − 3, c − 5 ⎢ Γb − 3Γc − 5
⎢
⎥ Γb − 3Γc − 5
×⎣
·2 F 1 ⎣
1⎦ −
a 1
Γa/2 − 1/2
Γa/2 − 1/2
−
2 2
⎡
⎡
⎤
−
A2 a, b, c Γb − 2Γc − 4 Γb − 1Γc − 3 ⎥
−
⎦,
Γa/2 1/2
2Γa/2 3/2
31 − cc − 2Γa/2 1/2
2Γa − b − c 6
Γb − 2Γc − 4
×
·2 F 1
Γa/2 1/2
b − 2, c − 4 1
a/2 1/2 Γb − 2Γc − 4 Γb − 1Γc − 3
−
−
,
Γa/2 1/2
Γa/2 3/2
A3 a, b, c 2a − 1c − 1c − 2Γa/2 1/2
aΓa − b − c 6
⎡
⎡
b − 3, c − 5
Γb − 3Γc − 5
×⎣
·2 F 1 ⎣
a
Γa/2 − 1
−1
2
⎤
1⎦ − Γb − 3Γc − 5
Γa/2 − 1
⎤
Γb − 2Γc − 4 Γb − 1Γc − 3 ⎥
−
−
⎦,
Γa/2
2Γa/2 1
A4 a, b, c c − 1c − 2Γa/2 1/2
aΓa − b − c 6
⎡
⎡
b − 2, c − 4
⎢ Γb − 2Γc − 4
·2 F1 ⎣
×⎣
a
a
Γ
2
2
⎤
1⎦
⎤
Γb − 2Γc − 4 Γb − 1Γc − 3 ⎦
−
−
,
Γa/2
Γa/2 1
3.9
Ba, b, c 5
j1
Bj a, b, c,
3.10
14
Journal of Inequalities and Applications
where
B1 a, b, c c − 1Γa/2 1/2
Γa − b − c 6
⎤
b − 1, c − 3 ⎢ Γb − 1Γc − 3
⎢
⎥
×⎣
·2 F1 ⎣
1⎦
a 3
Γa/2 3/2
2 2
⎡
⎡
⎤
−
B2 a, b, c Γb − 1Γc − 3
ΓbΓc − 2 ⎥
−
⎦,
Γa/2 3/2
Γa/2 5/2
4ac − 1Γa/2 1/2
Γa − b − c 6
⎤
b − 2, c − 4 ⎢ Γb − 2Γc − 4
⎢
⎥ Γb − 2Γc − 4
×⎣
·2 F1 ⎣
1⎦ −
a 1
Γa/2 1/2
Γa/2 1/2
2 2
⎡
⎡
⎤
−
B3 a, b, c Γb − 1Γc − 3
ΓbΓc − 2 ⎥
−
⎦,
Γa/2 3/2
2Γa/2 5/2
2aa − 2c − 1Γa/2 1/2
Γa − b − c 6
⎡
⎡
⎢ Γb − 3Γc − 5
⎢
×⎣
·2 F1 ⎣
Γa/2 − 1/2
−
B4 a, b, c ⎤
b − 3, c − 5 ⎥ Γb − 3Γc − 5
1⎦ −
a 1
Γa/2 − 1/2
−
2 2
Γb − 2Γc − 4 Γb − 1Γc − 3
ΓbΓc − 2
−
−
,
Γa/2 1/2
2Γa/2 3/2
6Γa/2 5/2
41 − cΓa/2 1/2
Γa − b − c 6
⎡
⎡
b − 2, c − 4
Γb
−
2Γc
−
4
×⎣
·2 F1 ⎣
a
Γa/2
2
⎤
−
Γb − 1Γc − 3 ΓbΓc − 2 ⎥
−
⎦,
Γa/2 1
2Γa/2 2
⎤
1⎦ − Γb − 2Γc − 4
Γa/2
Journal of Inequalities and Applications
B5 a, b, c 15
4a − 11 − cΓa/2 1/2
Γa − b − c 6
⎡
b − 3, c − 5
Γb
−
3Γc
−
5
·2 F1 ⎣
×⎣
a
Γa/2 − 1
−1
2
⎡
⎤
1⎦ − Γb − 3Γc − 5
Γa/2 − 1
⎤
−
Γb − 2Γc − 4 Γb − 1Γc − 3 ΓbΓc − 2 ⎥
⎥.
−
−
Γa/2
2Γa/2 1
6Γa/2 2 ⎦
3.11
Ca, b, c 6
Cj a, b, c,
3.12
j1
where
C1 a, b, c −
5a 1 Γa/2 1/2
4
Γa − b − c 6
⎤
b − 1, c − 3 ⎢ Γb − 1Γc − 3
⎢
⎥ Γb − 1Γc − 3
×⎣
·2 F 1 ⎣
1⎦ −
3
a
Γa/2 3/2
Γa/2 3/2
2 2
⎡
⎡
⎤
−
C2 a, b, c −
ΓbΓc − 2
Γb 1Γc − 1 ⎥
−
⎦,
Γa/2 5/2
2Γa/2 7/2
5aa 1 Γa/2 1/2
2
Γa − b − c 6
⎡
⎤
b
−
2,
c
−
4
⎢ Γb − 2Γc − 4
⎢
⎥ Γb − 2Γc − 4
×⎢
·
F
1⎦ −
⎣
2
1
a
1
⎣
a 1
Γa/2 1/2
Γ
2
2
2 2
⎡
⎤
−
Γb − 1Γc − 3
ΓbΓc − 2
Γb 1Γc − 1 ⎥
−
−
⎦,
Γa/2 3/2
2Γa/2 5/2
6Γa/2 7/2
16
Journal of Inequalities and Applications
aa − 2a 1Γa/2 1/2
Γa − b − c 6
⎡
⎡
b − 3, c − 5
Γb
−
3Γc
−
5
⎢
⎢
×⎣
·2 F 1 ⎣
a 1
Γa/2 − 1/2
−
2 2
C3 a, b, c −
−
C4 a, b, c C5 a, b, c C6 a, b, c ⎤
⎤
1⎦ − Γb − 2Γc − 4
Γa/2
⎤
Γb − 1Γc − 3 ΓbΓc − 2 Γb 1Γc − 1 ⎥
−
−
⎦,
Γa/2 1
2Γa/2 2
6Γa/2 3
2a − 1a 12 Γa/2 1/2
a2
Γa − b − c 6
⎡
⎡
b − 3, c − 5
Γb
−
3Γc
−
5
×⎣
·2 F 1 ⎣
a
Γa/2 − 1
−1
2
−
⎤
1⎦ − Γb − 1Γc − 3
Γa/2 1
ΓbΓc − 2 Γb 1Γc − 1 ⎥
−
⎦,
Γa/2 2
2Γa/2 3
3a 12 Γa/2 1/2
a 2 Γa − b − c 6
⎡
⎡
b − 2, c − 4
Γb
−
2Γc
−
4
×⎣
·2 F 1 ⎣
a
Γa/2
2
−
⎤
ΓbΓc − 2
Γb 1Γc − 1 ⎥
Γb − 2Γc − 4 Γb − 1Γc − 3
−
−
−
⎦,
Γa/2 1/2
2Γa/2 3/2
6Γa/2 5/2 24Γa/2 7/2
a 1 Γa/2 1/2
2a 2 Γa − b − c 6
⎡
⎡
b − 1, c − 3
Γb
−
1Γc
−
3
×⎣
·2 F 1 ⎣
a
Γa/2 1
1
2
−
⎤
⎥ Γb − 3Γc − 5
1⎦ −
Γa/2 − 1/2
⎤
1⎦ − Γb − 3Γc − 5
Γa/2 − 1
⎤
Γb − 2Γc − 4 Γb − 1Γc − 3 ΓbΓc − 2 Γb 1Γc − 1 ⎥
−
−
−
⎦.
Γa/2
2Γa/2 1
6Γa/2 2
24Γa/2 3
3.13
Finally applying the Gauss’s summation theorem 1.6 to Aj ’s in 3.8, Bj ’s in 3.10,
and Cj ’s in 3.12, after a simplification by making a main use of Γz 1 zΓz, we can
readily show the summation formula 2.3 in Theorem 2.1.
Journal of Inequalities and Applications
17
We conclude this paper by noting that by extending Tables 1 and 2 and using the same
technique given here, all other known formulas in 3 see 1.9 can be proved and further
extension summation formulas for fi,j a, b, c in 1.9
i, j ∈ Z \ {−3, −2, −1, 0, 1, 2} × N0 \ {0, 1, 2, 3}
3.14
can be presented, where N0 : N ∪ {0} and Z denotes the set of integers.
References
1 E. D. Rainville, Special Functions, The Macmillan, New York, NY, USA, 1960.
2 H. M. Srivastava and J. Choi, Series Associated with the Zeta and Related Functions, Kluwer Academic
Publishers, Dordrecht, The Netherlands, 2001.
3 J. L. Lavoie, F. Grondin, A. K. Rathie, and K. Arora, “Generalizations of Dixon’s theorem on the sum
of a 3 F2 ,” Mathematics of Computation, vol. 62, no. 205, pp. 267–276, 1994.
4 Y. S. Kim and A. K. Rathie, “On an extension formulas for the triple hypergeometric series X8 due to
Exton,” Bulletin of the Korean Mathematical Society, vol. 44, no. 4, pp. 743–751, 2007.
5 J. L. Lavoie, F. Grondin, and A. K. Rathie, “Generalizations of Watson’s theorem on the sum of a 3 F2 ,”
Indian Journal of Mathematics, vol. 34, no. 2, pp. 23–32, 1992.
6 J. L. Lavoie, F. Grondin, and A. K. Rathie, “Generalizations of Whipple’s theorem on the sum of a 3 F2 ,”
Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 72, no. 2, pp. 293–300, 1996.
7 W. N. Bailey, Generalized Hypergeometric Series, Stechert-Hafner, New York, NY, USA, 1964.