10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Objective #1
Use Cramer's Rule to  solve a system of three  equations containing  three variables.
Objective #2
Know properties  of determinants.
Jan 8­12:35 PM
1

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
1.
1   ­2    3
3    1   ­2
2   ­4    6
Jan 9­12:59 PM
2

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Cramer's Rule
Use Cramer's Rule to solve a system of 3 equations with 3 variables.
x + a
12 y + a
13 z =  c
1
Given the following system of equations:
{ a
11 a
21 x + a
22 a
31 x + a y + a
23 z =  c
2
32 y + a
33 z =  c
3 x  =
D x
D y  =
D y
D z  =
D z
D
What do we already know about  D ?
Jan 9­1:09 PM
3

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Cramer's Rule
Given the following system of equations: x + a
12 y + a
13 z =  c
1
{ a
11 a
21 x + a
22 a
31 x + a
32 y + a
23 z =  c
2 y + a
33 z =  c
3 x  =
D x
D y  =
D y
D z  =
D z
D
D
a
11
a
12
a
13 a
21
a
22
a
23 a
31
a
32
a
33
≠ 0
Jan 9­1:09 PM
4

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Cramer's Rule
Given the following system of equations: x + a
12 y + a
13 z =  c
1
{ a
11 a
21 x + a
22 a
31 x + a
32 y + a
23 z =  c
2 y + a
33 z =  c
3 x  =
D x
D y  =
D y
D z  =
D z
D
D x
=  c
1
a
12
a
13 c
2
a
22
a
23 c
3
a
32
a
33
D y
=  a
11
c
1
a
13 a
21
c
2
a
23 a
31
c
3
a
33
D z
=  a
11
a
12
c
1 a
21
a
22
c
2 a
31
a
32
c
3
Jan 9­1:09 PM
5

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Cramer's Rule
Given the following system of equations:
{ a
11 x + a
12 y + a
13 z =  c
1 a
21 x + a
22 y + a
23 z =  c
2 a
31 x + a
32 y + a
33 z =  c
3 x  =
D x
D y  =
D y
D z  =
D z
D
D x
=  c
1
a
12
a
13 c
2
a
22
a
23 c
3
a
32
a
33
D y
=  a
11
c
1
a
13 a
21
c
2
a
23 a
31
c
3
a
33
D z
=  a
11
a
12
c
1 a
21
a
22
c
2 a
31
a
32
c
3
D
a
11
a
12
a
13 a
21
a
22
a
23 a
31
a
32
a
33
≠ 0
Jan 9­1:09 PM
6

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Cramer's Rule
Example:  Use Cramer's Rule, if applicable, to solve the following system.
{ 2x +   y  ­   z =   3
­x + 2y + 4z =  ­3
x  ­ 2y  ­ 3z =   4
Always check this first!
D  =  a
11
a
12
a
13 a
21
a
22
a
23 a
31
a
32
a
33
≠ 0
Jan 9­1:09 PM
7

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Cramer's Rule
Example:  Use Cramer's Rule, if applicable, to solve the following system.
{   x ­   y +  z = 8
2x + 3y ­  z = ­2
3x ­ 2y ­ 9z = 9
Who wants a SHORTCUT?
x = 4, y = ­3, z = 1
Jan 9­1:09 PM
8

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Properties of Determinants
The properties of determinants are listed on pages 765 and 766.
Here are a few that might make some problems easier.
Theorem:  The value of a determinant changes sign if any two rows (or  any two columns) are interchanged.
5    6
7    8
= ­2
7    8
5    6
= 2
Theorem:  If any row (or any column) of a determinant is multiplied by  a nonzero number  k , the value of the determinant is also changed by a  factor of  k .
3    4
1    2
= 2
3    4
5   10
= 10 one more
Jan 9­1:09 PM
9

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Properties of Determinants
The properties of determinants are listed on pages 765 and 766.
Here are a few that might make some problems easier.
Theorem:  If any two rows (or any two columns) of a determinant have  corresponding entries that are equal, the value of the determinant is 0.
1    2    3
1    2    3
4    5    6
= (­1)
1 + 1
( 1 )
2    3
5    6
+ (­1)
1 + 2
( 2 )
1    3
4    6
+ (­1) 1 + 3  ( 3 )
1    2
4    5
= 1(­3) ­ 2(­6) + 3(­3)
= ­3 + 12 ­ 9
= 0
Jan 9­1:09 PM
10

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Example:  Find the value of  x .
= ­3
Jan 9­1:09 PM
11

10.3 Day 3 Systems of Linear Equations ­ Determinants 2011 January 12, 2011
Show all steps on #33!
You may use the  SHORTCUT  on the rest!
Jan 9­1:05 PM
12