Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux 20 (2008), 45–59
On the Delta set of a singular arithmetical
congruence monoid
par Paul BAGINSKI, Scott T. CHAPMAN et George
J. SCHAEFFER
Résumé. Si a et b sont des entiers positifs, avec a ≤ b et a2 ≡
a mod b, l’ensemble
Ma,b = {x ∈ N : x ≡ a mod b ou x = 1}
est un monoı̈de multiplicatif, appelé monoı̈de de congruence arithmétique (ACM). Pour chaque monoı̈de avec ses unités M × et pour
chaque x ∈ M \M × , nous dirons que t ∈ N est une longueur
de décomposition en facteurs de x si et seulement s’il existe des
éléments irréductibles y1 , . . . , yt ∈ M tels que x = y1 · · · yt . Soit
L(x) = {t1 , . . . , tj } l’ensemble des longueurs (avec ti < ti+1 pour
i < j). Le Delta-ensemble d’un élément x est ∆(x) = {ti+1 − ti :
1
S ≤ i < j } et le Delta-ensemble du monoı̈de M est ∆(M ) =
x∈M \M × ∆(x). Nous examinons ∆(M ) quand M = Ma,b est
un ACM avec pgcd(a, b) > 1. Cet ensemble est complètement
caractérisé quand pgcd(a, b) = pα , p un nombre premier et α > 0.
Quand pgcd(a, b) a plus d’un facteur premier, nous donnons des
bornes pour ∆(M ).
Abstract. If a and b are positive integers with a ≤ b and a2 ≡
a mod b, then the set
Ma,b = {x ∈ N : x ≡ a mod b or x = 1}
is a multiplicative monoid known as an arithmetical congruence
monoid (or ACM). For any monoid M with units M × and any x ∈
M \M × we say that t ∈ N is a factorization length of x if and only
if there exist irreducible elements y1 , . . . , yt of M and x = y1 · · · yt .
Let L(x) = {t1 , . . . , tj } be the set of all such lengths (where ti <
ti+1 whenever i < j). The Delta-set of the element x is defined
as the set of gaps in L(x): ∆(x) = {ti+1 −Sti : 1 ≤ i < k} and
the Delta-set of the monoid M is given by x∈M \M × ∆(x). We
consider the ∆(M ) when M = Ma,b is an ACM with gcd(a, b) > 1.
Manuscrit reçu le 22 janvier 2007.
The first author was supported by a Dept. of Homeland Security Graduate Fellowship.
The third author received support from the National Science Foundation, Grant #DMS0353488.
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Paul Baginski, Scott T. Chapman, George J. Schaeffer
This set is fully characterized when gcd(a, b) = pα for p prime and
α > 0. Bounds on ∆(Ma,b ) are given when gcd(a, b) has two or
more distinct prime factors.
Paul Baginski
University of California at Berkeley
Department of Mathematics
Berkeley, California 94720
E-mail : baginski@gmail.com
Scott T. Chapman
Trinity University
Department of Mathematics
One Trinity Place
San Antonio, TX. 78212-7200
E-mail : schapman@trinity.edu
George J. Schaeffer
Carnegie Mellon University
Department of Mathematical Sciences
Pittsburgh, PA 15213
E-mail : gschaeff@andrew.cmu.edu