Journal de Théorie des Nombres
de Bordeaux 19 (2007), 1–25
Sign changes of error terms related to
arithmetical functions
par Paulo J. ALMEIDA
P
6
Résumé. Soit H(x) = n≤x φ(n)
n − π 2 x. Motivé par une conjecture de Erdös, Lau a développé une nouvelle méthode et il a
démontré que #{n ≤ T : H(n)H(n + 1) < 0} T. Nous consiP
dérons des fonctions arithmétiques f (n) = d|n bdd dont l’addition
P
peut être exprimée comme n≤x f (n) = αx + P (log(x)) + E(x).
P
Ici P (x) est un polynôme, E(x) = − n≤y(x) bnn ψ nx + o(1) avec
ψ(x) = x − bxc − 1/2. Nous généralisons la méthode de Lau et
démontrons des résultats sur le nombre de changements de signe
pour ces termes d’erreur.
P
6
Abstract. Let H(x) = n≤x φ(n)
n − π 2 x. Motivated by a conjecture of Erdös, Lau developed a new method and proved that
#{n ≤ T : H(n)H(n + 1) < 0} T. We consider arithmetical
P
functions f (n) = d|n bdd whose summation can be expressed as
P
+ E(x), where P (x) is a polynomial,
n≤x f (n) = αx + P (log(x))
P
E(x) = − n≤y(x) bnn ψ nx + o(1) and ψ(x) = x − bxc − 1/2. We
generalize Lau’s method and prove results about the number of
sign changes for these error terms.
Paulo J. Almeida
Departamento de Matemática
Universidade de Aveiro
Campus Universitário de Santiago
3810-193 Aveiro, Portugal
E-mail : paulo@mat.ua.pt
Manuscrit reçu le 8 janvier 2006.
This work was funded by Fundação para a Ciência e a Tecnologia grant number
SFRH/BD/4691/2001, support from my advisor and from the department of mathematics of
University of Georgia.