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Linear theory of the oscillation of a hanging chain
Daniel Bernoulli in 1732 and Euler in 1781.
m is the mass per unit length and x is measured upwards from the bottom.
The tension, T  mgx , and so the equation of SMALL oscillations is

  y 
2 y
  y   2 y
T

m
g
or
.


x 
x  x 

x  x  t 2
t 2

Motion sinusoidal with time






If we write y  Y x cost , this becomes g
d  dY 
2
x
cost   Y cos t so that
dx  dx 
d  dY   2
Y  0.
x

dx  dx  g


x
du

Substitute u  2
so that
and therefore

g
dx
gx
 d  x dY   2
2 d u dY   2



Y

0
Y  0 and hence
or




gu du 2 du  g
gx du  gx du  g


1 d  dY 
u
 Y  0 .
u du  du 

d 2Y 1 dY
This finally produces

 Y  0.
du 2 u du
Approach 1


2
dy
2 d y

x
x
 x 2  v 2 y  0 which has the solution
Bessel’s differential equation is
2
dx
dx
y  AJv x BYv x in which J v x  is the Bessel function of the first kind and Yv x
and the Bessel function of the second kind.

In our case v  0 and 
Y0 0 is infinite so that the final solution is


  x 
Y  AJ 0 u   AJ 0 
2 g 
.





1 x
 2 m! n  m ! and therefore
 
1 x
J 2 x  

m!

0
m
2
m0
m
.
m

n
2mn
m0



The series for J n x is J n x  x

2m
2
Approach 2
Try Y 
 amu m and substitute into
d 2Y

1 dY
 Y  0 to give
u du
du 2
am mm 1 m  am2  0 or m 2 am  am2  0 .




There are two solutions:


1
m
m even: a0  1, am 
m!
2
when m positive and am  0 when m is
negative.


 negative.
m odd: This gives values
for am when mis positive and
Therefore
 it is infinite when x  0 - no good.
Thus either way we
obtain Y 
 constant

1 x m .

2
m0 m!

m
The if the chain is hung from a fixed point, that point must be a node.
Travelling wave

Return to g
  y   2 y
and consider solution
x 
x  x  t 2
y  y  ,  
x

 t2
g
 t 2
x
g
.
   2
x  g 

 4 

t
2
Then


1  
 

  
x
gx   
  
 
   
t   
and

3
2
1  
  1  
    
 
g
  y
  x
  y 
 



 



gx   
gx


2
4  
     
    
 
  
  y     y
      4       
hence

2
2
y y   
 
1  
 
 
 
           y     y
     
     
  
1 y y 
2 y


4


      
y y
2 y

 4   
 

so that

y
2 y
y
2 y
 4

 4

 

3
4
  4 y  4   4 y 


   
  

 





1
3
1
 1 1

 1 1

4 4
   y    4  4 y 



 
        




1
1
1
1
1
1
1 1




2
2
4 4
4 4
4 4
    3  
    3  4  4
y

y

y 
y
 4  2
2
 
 
 

 
 4 




1 1
1
1


2
2
2  4  4   
 3  4  4   



0
y 
y

2 2
 

4








4
 2 y  
y 
y 
0  4   
      
    

 
 
 
 2 y  
y 
y 
      
    

 
 
 
 4   
1 
1 
  2 

 
 2 
4
4
 4    
     y  y      








5
1 
  2 


5y
 4   4 
    4 y 
9 
 16    4 
 
  

5
4
