函數圖形之凹性與反曲點

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微積分網路教學課程
應用統計學系
周 章
1
網路教學課程第七講
1. 凹性與反曲點
2. 函數圖形之描繪
2
網路教學課程第七講
1. 凹性與反曲點
2. 函數圖形之描繪
3
Concavity 凹性
Concavity (凹性) . The graph of a differentiable
function f (x) on an open interval I is called
• concave up (上凹) on I : if each of the lines
tangent to the graph of the function on I lies
below the graph;
•concave down (下凹) on I : if each of the lines
tangent to the graph of the function on I lies
above the graph .
4
函數圖形之凹性
5
上凹
在圖中所表示之曲
線,其切線皆在曲
線之下方,此種曲
線稱為上凹
(Concave upward)
6
下凹 Concave downward
圖中所表示之曲
線,其切線皆在
曲線之上方,此
種曲線稱為下凹
7
切線斜率與凹性
由圖觀之,曲線之凹向性可由其切線斜
率之變動情形決定之。當有一點在曲線
上由左向右移動時,若曲線為上凹,則
過點之切線斜率將隨點之右移而增大;
反之,若曲線為下凹,則過點之切線斜
率將隨點之右移而減小。
8
一階導數之增減與凹性
9
一階導數之增減與凹性
•
在區間 I 中
為遞增
f 為上凹
10
一階導數之增減與凹性
•
在區間 I 中
為遞增
f 為上凹
•
為遞減
f 為下凹
11
雲霄飛車 – 1
12
雲霄飛車 – 2
13
雲霄飛車 – 3
14
雲霄飛車 – 4
15
雲霄飛車 – 5
16
雲霄飛車 – 6
17
雲霄飛車 – 7
18
雲霄飛車 – 8
19
單調性(Monotonicity)定理
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單調性(Monotonicity)定理
• 若函數 f 在區間 I 的微分函數
則函數 f 在區間 I 為遞增。
> 0
21
雲霄飛車 – 2
22
雲霄飛車 – 3
23
雲霄飛車 – 4
24
雲霄飛車 – 5
25
雲霄飛車 – 6
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單調性(Monotonicity)定理
• 若函數 f 在區間 I 的微分函數
則函數 f 在區間 I 為遞增。
> 0
• 若函數 f 在區間 I 的微分函數
則函數 f 在區間 I 為遞減。
< 0
27
與凹性
由單調性(Monotonicity)定理,我們已經知道增
函數之導數為正,而減函數之導數為負。
綜合上面的討論,我們可知:
• 上凹曲線之
之導數為正,即
•
下凹曲線之
之導數為負,即
為正;
為負。
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與凹性
由單調性(Monotonicity)定理,我們已經知道增
函數之導數為正,而減函數之導數為負。
綜合上面的討論,我們可知:
• 上凹曲線之
之導數為正,即
•
下凹曲線之
之導數為負,即
為正;
為負。
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How the graph of a function
"bends" at a point
moving-concavity.html
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二階導數與凹性
Theorem. If the second derivative of a function
exists everywhere on an open interval I then its
graph is
(i) concave up on I if f ' ' ( x)  0 for all x in I ;
(ii) concave down on I if f ' ' ( x)  0 for all x in
the interval I .
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Inflection Point 反曲點
Definition:
Any point (c, f (c)) where the graph of a
continuous function changes direction of
concavity is called an inflection point.
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反曲點
函數之曲線在一點之左
右兩側凹性不同時, 即
有一側為上凹,另一側
為下凹時,則產生反曲
點 (inflection point)
33
函數圖形之凹性與反曲點
34
反曲點
之求法
35
反曲點
之求法
36
反曲點
之求法
37
38
39
二階導數不存在
40
注意
當二階導數在某點之值為零或無限大時,
並不保證該點就是圖形之反曲點
如下圖所示,
41
如圖所示,
但原點不為反曲點
42
不存在
二階導數在 x = 0 之
值為正負無限大, 而
不存在時; 原點不為
反曲點
43
例 題1
44
例 題 1- 續
45
例 題 1- 續
46
例 題 1- 續
47
例 題 1- 續
48
習題
49
習題
50
網路教學課程第七講
1. 凹性與反曲點
2. 函數圖形之描繪
51
Critical points 臨界點
52
導數不存在
53
Cusp - 導數不存在:
54
The graph of
55
Second derivative test for maxima
and minima
56
Second derivative test for maxima
and minima
Theorem. If c is a critical number
such that
, then:
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Second derivative test for maxima
and minima
Theorem. If c is a critical number
such that
, then:
i)
The point (c; f (c)) is a relative minimum
if
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Second derivative test for maxima
and minima
Theorem. If c is a critical number
such that
, then:
i)
The point (c; f (c)) is a relative minimum
if
ii) The point (c; f (c)) is a relative maximum
if
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Example: Local extrema
Consider the function
f (x) is a polynomial function. Therefore it is
continuous and differentiable everywhere.
60
Taking the derivative we get
61
Taking the derivative we get
So we have
62
So f (x) is increasing on the intervals
and
, and f (x) is decreasing on the
interval [-1,2].
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Graph of f(x) and
At x = -1 the
function behaves
like a point at the
top of a hill while
at x = 2 the graph
looks like a valley.
64
Example
65
Example
First let us find the critical points. The
function f (x) is rational and is defined for
any x. In fact, f (x) is differentiable for any
x. Moreover we have
66
67
So
0 implies
.
68
So
Since
0 implies
.
69
Then the first-derivative test implies that
x = -1 is a local minimum and
x = 1 is a local maximum.
70
Then the first-derivative test implies that
x = -1 is a local minimum and
x = 1 is a local maximum.
71
描繪一般函數圖形之步驟
1.
2.
3.
4.
5.
討論函數之定義域與值域,以決定曲線範圍。
求出圖形在座標軸上之截距。
討論圖形之對稱性。
討論圖形是否有漸近線。
求出臨界點,函數增減區間之測定,決定圖形之
極大點、極小點。
6. 凹性及反曲點之測定。
7. 圖形之描繪。
72
多項式函數圖形之描繪
73
多項式函數圖形之描繪
74
多項式函數圖形之描繪
75
例題 1
76
例題 1
77
78
79
80
81
符號表
82
函數圖形
83
例題 2
84
例題 2
85
例題 2
86
符號表
87
88
89
有理函數圖形之描繪
90
有理函數圖形之描繪
91
有理函數圖形之描繪
92
水平漸近線 Horizontal asymptote
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鉛直漸近線 Vertical
asymptote
94
漸近線
95
漸近線
96
漸近線
97
斜漸近線
98
斜漸近線
99
例題
100
例題
101
例題-續
102
例題-續
103
例題-續
104
例題-續
105
例題-續
106
107
例題
108
109
110
111
例題
112
例題
113
114
115
116
117
118
函數中含有根式之圖形描繪
119
例題
120
例題
121
122
123
124
習題
125
習題
126
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