METHOD OF PROOF
030513122 - Discrete Mathematics
Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka
ทำไมต้องพิสจู น์ (1)



“Mathematical proofs, like diamonds, are hard and
clear, and will be touched with nothing but strict
reasoning.”
-John Locke
Mathematical proofs are, in a sense, the only true
knowledge we have
They provide us with a guarantee as well as an
explanation (and hopefully some insight)
ทำไมต้องพิสจู น์ (2)

กำรพิสจู น์ทำงคณิตศำสตร์มีควำมจำเป็ นทำงด้ำนคอมพิวเตอร์
 ควรจะพยำยำมพิสจ
ู น์
algorithm
 terminates
 sound,
complete, optimal
 finds optimal solution
 เพื่อแสดงว่ำวิธีดงั กล่ำวมีประสิทธิภำพมำกกว่ำวิธีอื่นๆ
อำจะนำทำงไปสู่ algorithm
ใหม่ที่ง่ำยและมีประสิทธิภำพมำกกว่ำเดิม
 กำรพิสจ
ู น์คุณสมบัติของโครงสร้ำงข้อมูล
คำศัพท์ที่ควรรู ้








Theorem เป็ น statement ที่สำมำรถแสดงได้วำ่ เป็ นจริง (จำกกำรพิสจู น์)
Proof เป็ นชุดของ statements ที่ใช้สำหรับกำรสร้ำงข้อโต้แย้ง
Axioms หรือ postulates เป็ น statements ที่มีหลักฐำนในตัวมันเองว่ำเป็ น จริง
เสมอ
Lemma คือ theorem ที่มีประโยชน์ในกำรพิสจู น์ theorem อื่น
Corollary เป็ น theorem ที่สำมำรถอ้ำงได้จำก theorem ที่ผ่ำนกำรพิสจู น์แล้ว
Proposition มีควำมสำคัญน้อยกว่ำ theorem
Conjecture เป็ น statement ที่ไม่ทรำบค่ำควำมจริง
Rules of inference เป็ นช่องทำงในกำรหำค่ำสรุป
Theorems: ตัวอย่ำง

Theorem
 กำหนดให้
a, b, และc เป็ นจำนวนเต็ม แล้ว
a|b และ a|c แล้ว a|(b+c) [ a | b หมำยถึง a หำร b ลงตัว ]
 ถ้ำ a|b แล้ว a|bc สำหรับ c ที่เป็ นจำนวนเต็มทุกค่ำ
 ถ้ำ a|b และ b|c แล้ว a|c
 ถ้ำ

Corollary:
a, b, และ c เป็ นจำนวนเต็มที่ a|b และ a|c แล้ว a|mb+nc
โดยที่ m และ n เป็ นจำนวนจริง
 ลองทำดู ว่ำได้ Corollary จำก Theorem ได้ยงั ไง
 ถ้ำ
Proofs: กำรพิสจู น์ทวั ่ ไป

ข้อโต้แย้ง (argument) จะถือว่ำ ถูกต้อง(valid)
(hypotheses) เป็ นจริง,
 แล้วข้อสรุป (conclusion) เป็ นจริงด้วย
 ถ้ำทุกสมมุติฐำน


จำกสมมุติฐำน p1, p2, …, pn, จะสำมำรถหำสรุปได้เมื่อ:
(p1  p2  …  pn)  q
ปกติกำรพิสจู น์จะทำเป็ นขั้นตอนในกำรพิสจู น์ Theorem
Proofs: ตัวอย่ำง

ตัวอย่าง
theorem ที่วำ่ ‘If x>0 and y>0, then x+y>0’
 อะไรคือ สมมุติฐำน (assumptions)?
 อะไรคือ ข้อสรุป (conclusion) ?
 พิจำรณำ

แต่ละขั้นตอนในกำรพิสจู น์จะต้องเป็ นจริง
Rules of Inference (กฎของกำรอนุ มำน)

กำรอนุ มำนด้วยวิธีกำรให้เหตุผลจะต้องมีกำรตรวจสอบควำมสมเหตุสมผล
กฎของกำรอนุ มำนเชิงตรรกศำสตร์ ได้แก่
Modus Ponens (MP)
 Modus Tollens (MT)
 Disjunctive Syllogism (DS)
 Addition (Add)
 Simplification (Simp)
 Conjunction (Conj)
 Hypothetical Syllogism (HS)

Modus Ponens (MP)

Modus Ponens (-elimination)
PQ
P
Q
P Q
PQ
T T
T
T F
F
F T
T
F F
T
Addition (Add)

Addition (-introduction)
P
PQ
หรือ
Q
PQ
P Q
PQ
P Q
PQ
T T
T
T T
T
T F
T
T F
T
F T
T
F T
T
F F
F
F F
F
Simplification (Simp)

Simplification (-elimination)
PQ
P
หรือ
PQ
Q
P Q
PQ
P Q
PQ
T T
T
T T
T
T F
F
T F
F
F T
F
F T
F
F F
F
F F
F
ตัวอย่างการใช้งาน Simplification

จงพิสจู น์วำ่ ถ้ำ 0 < x < 10 แล้ว x  0
1.
2.
3.
4.
0 < x < 10  (0 < x)  (x < 10)
(x  0)  (x < 10)  (x  0)
(x  0)  (x  0)  (x = 0)
(x  0)  (x = 0)  (x  0)
(1) Simp
(2) Add
Conjunction (Conj)

Conjunction (-introduction)
P
Q
PQ
P Q
PQ
T T
T
T F
F
F T
F
F F
F
Modus Tollens (MT)

Modus Tollens (-elimination)
PQ
Q
P

ตัวอย่าง :

P Q
PQ
Q
P
T T
T
F
F
T F
F
T
F
F T
T
F
T
F F
T
T
T
ถ้ำคุณเป็ นนักศึกษำ มจพ แล้วคุณ
คือลูกพระจอม
 สมชำยไม่ได้เป็ น ลูกพระจอม
 ดังนั้น สำมำรถสรุปได้วำ่ สมชำยไม่
เป็ นเป็ นนักศึกษำ มจพ
Hypothetical syllogism (HS)

Hypothetical syllogism (chain reasoning, chain deduction)
PQ
QR
PR

ตัวอย่าง :

P
Q
R
PQ
QR
PR
T
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
F
T
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
F
T
F
T
F
T
F
F
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
ถ้ำคุณไม่มีงำนทำ คุณจะไม่มีเงิน
 ถ้ำคุณไม่มีเงิน คุณจะซื้ อ iphone
ไม่ได้
 ดังนั้น สำมำรถสรุปได้วำ่ ถ้ำคุ ณไม่มี
งำนทำ คุณจะซื้ อ iphone ไม่ได้
Disjunctive syllogism (DS)

Disjunctive Syllogism (-elimination)
PQ
P
Q
หรือ

ตัวอย่าง :

ท้องฟ้ ำมีสีฟ้ำหรือสีเทำ
 ตอนนี้ ท้องฟ้ ำไม่ใช่สีเทำ
 ดังนั้นสำมำรถสรุปได้วำ่
ท้องฟ้ ำมีสีฟ้ำ
PQ
Q
P
P Q
PQ
P
P Q
PQ
Q
T T
T
F
T T
T
F
T F
T
F
T F
T
T
F T
T
T
F T
T
F
F F
F
T
F F
F
T
Rules of Inference: Resolution


For resolution, we have the following tautology
((p  q)  (p  r))  (q  r)
Essentially,
 If
we have two true disjunctions that have mutually
exclusive propositions
 Then we can conclude that the disjunction of the two
non-mutually exclusive propositions is true
Proofs: ตัวอย่ำงที่ 1


วิธีที่ดีที่สุดในกำรพิสจู น์ให้ได้ คือ เห็นตัวอย่ำงกำรพิสูจน์ให้มำกที่สุด
จงพิสูจน์ Theorem: The sum of two odd integers is even
 กำหนดให้ m
และ n เป็ นเลขคี่
 เลขคี่ x คือเลขที่เกิดจำกสมกำร x = (2*k) + 1 สำหรับทุกค่ำ k ใน Z
 ดังนั้ น m = (2k1 + 1) และ n = (2k2 + 1)
 เริ่มกำรพิสจ
ู น์
m
+ n = (2k1 + 1) + (2k2 + 1)
= 2k1 + 2k2 + 2
= 2(k1 + k2 + 1)
 k1
+ k2 + 1 เป็ นจำนวนเต็ม ดังนั้น 2 คูณกับตัวเลขอะไรก็จะได้เลขคู่
Proofs: ตัวอย่ำงที่ 2

กำหนด statements ด้ำนล่ำงให้เป็ นจริง:
•
•
•


(p  q)
(r  s)
(r  p)
กำหนดให้ q เป็ นเท็จ
จงแสดงว่ำ s ต้องเป็ นจริง
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
(p  q)
assumption
(r  s)
(r  p)
q
p
r
s
assumption
assumption
assumption
(1),(4) MT
(3),(5) DS
(2),(6) MP
Fallacies (1)


ตัวอย่ำงที่ผิดๆ ก็มีประโยชน์เพื่อให้เรำรูว้ ำ่ ไม่ควรจะทำอะไร
ข้อผิดพลำด 3 อย่ำงที่พบกันบ่อยครั้งคือ
1.
Fallacy of affirming the conclusion
(q  (p  q))  p
2.
3.
Fallacy of denying the hypothesis
(p  (p  q))  q
Circular reasoning ไปใช้ขอ้ สรุปเป็ นสมมุติฐำน
ทบทวน Rule of References อีกนิ ด




Affirming the antecedent: Modus ponens
(p  (p  q))  q
Denying the consequent: Modus Tollens
(q  (p  q))  p
Affirming the conclusion: Fallacy
(q  (p  q))  p
Denying the hypothesis: Fallacy
(p  (p  q))  q
Fallacies (2)



บำงครั้งกำรพิสจู น์ผิด เกิดขึ้ นมำจำกกำรใช้ตวั ดำเนิ นกำรที่ผดิ มำกกว่ำผิด
ที่ตรรก
พิจำรณำกำรพิสจู น์ผิดๆ ของ 2=1
กำหนดให้
a
=b
 a2
= ab
 a2 + a2 – 2ab
= ab + a2 – 2ab
 2(a2 – ab)
= (a2 – ab)
2 =1


ขั้นตอนไหนที่ผิดในการพิสูจน์ครัง้ นี้ ??
เอำ a ไปคูณทั้ง 2 ข้ำง
เอำ a2 – 2ab ไปบวกทั้ง 2 ข้ำง
แยกตัวประกอบ และรวม term
เอำ (a2 – ab) หำรทั้ง 2 ข้ำง
กำรพิสจู น์แบบมี Quantifiers





Rules of inference สำมำรถขยำยไปใช้งำนกับ statement ที่มี
Quantifier ได้
Universal Instantiation: ถ้ำมีหลักฐำนว่ำ xP(x) และ c  UoD
(universe of discourse), เรำสำมำรถสรุปได้วำ่ P(c) เป็ นจริง
Universal Generalization: ถ้ำสุ่มเลือก c ที่ซึ่ง c  UoD และแสดงได้
ว่ำ P(c) เป็ นจริงแล้ว xP(x) จะเป็ นจริง
Existential Instantiation: ถ้ำมีหลักฐำนว่ำ xP(x) เป็ นจริง, เรำ
สำมำรถกำหนดค่ำคงที่เช่น c โดยที่ c  UoD เรำก็จะสำมำรถสรุปได้วำ่ P(c)
เป็ นจริง
Existential Generalization: ถ้ำ P(c) เป็ นจริงสำหรับ c ที่เจำะจง จะ
สำมำรถสรุปได้วำ่ xP(x) เป็ นจริง
ตัวอย่ำง: กำรพิสจู น์แบบมี Quantifier


จงแสดงว่ำเมื่อรูว้ ำ่ “A car in the garage has an engine problem” และ
“Every car in the garage has been sold” สำมำรถสรุปได้วำ่ “A car has
been sold has an engine problem”
กำหนด

G(x): “x is in the garage”
E(x): “x has an engine problem”
S(x): “x has been sold”

Universe of discourse คือ รถทั้งหมด



ดังนั้นจะได้สมมุติฐำนที่วำ่ :



x (G(x)  E(x))
x (G(x)  S(x))
ข้อสรุปที่ตอ้ งกำรคือ x (S(x)  E(x))
Proofs with Quantifiers: Example (2)
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
x (G(x)  E(x))
(G(c)  E(c))
G(c)
x (G(x)  S(x))
G(c)  S(c)
S(c)
E(c)
S(c)  E(c)
x (S(x)  E(x))
1st premise
(1) Existential Instantiation
(2) Simp
2nd premise
(4) Universal Instantiation
(3),(5) MP
(2) Simp
(6),(7) Conj
(8) Existential generalization
ทำแบบฝึ กหัดด้วยกันก่อนพักครึ่ง (1)

จำกข้อควำมต่อไปนี้ มีกำรใช้ rule of inference อะไรบ้ำง
Alice is a mathematics major. Therefore, Alice is either a
mathematics major or a computer science major.
 Jerry is a mathematics major and a computer science major.
Therefore, Jerry is a mathematics major.
 If it is rainy, then the pool will be closed. It is rainy.
Therefore, the pool is closed.

If it snows today, the university will close. The university is not
closed today. Therefore, it did not snow today.
 If I go swimming, then I will stay in the sun too long. If I stay
in the sun too long, then I will sunburn. Therefore, if I go
swimming, then I will sunburn.

ทำแบบฝึ กหัดด้วยกันก่อนพักครึ่ง (2)

จงหำขั้นตอนที่ผิดพลำดระหว่ำงกำรพิสจู น์วำ่
if ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) is true then ∃x(P(x) ∧ Q(x)) is true.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
∃xP(x) ∨∃xQ(x)
∃xP(x)
P(c)
∃xQ(x)
Q(c)
P(c) ∧ Q(c)
∃x(P(x) ∧ Q(x))
Premise
Simplification from (1)
Existential instantiation from (2)
Simplification from (1)
Existential instantiation from (4)
Conjunction from (3) and (5)
Existential generalization
วิธีกำร Proofs









Trivial proofs
Vacuous proofs
Direct proofs
Proof by Contrapositive (indirect proof)
Proof by Contradiction (indirect proof, aka refutation)
Proof by Cases (sometimes using WLOG)
Proofs of equivalence
Existence Proofs (Constructive & Nonconstructive)
Uniqueness Proofs
Trivial Proofs



ข้อสรุปเป็ นจริงได้ โดยไม่จำเป็ นต้องมีสมมุติฐำน
Trivial proof ใช้เมื่อข้อสรุปเป็ นจริงเสมอ เช่น if q เป็ น true, แล้ว
pq เป็ น true
ตัวอย่าง: จงพิสจู น์ ถ้า x>0 แล้ว (x+1)2 – 2x  x2
Vacuous Proofs




ถ้ำรูว้ ำ่ สมมุติฐำน p เป็ นเท็จ
แล้วสำมำรถสรุปได้วำ่ pq เป็ นจริงเสมอ
Vacuous proof เป็ นกำรพิสจู น์ที่อยูบ่ นฐำนข้อเท็จจริงที่ไม่มีคำ่ ในขอบเขต
ที่กำหนดมำทำให้สมมุติฐำนเป็ นจริงได้
ตัวอย่าง:

If x is a prime number divisible by 16, then x2 <0
(บำงครั้งข้อสรุปที่ได้ก็ฝืนกับหลักควำมจริง)
Direct Proofs


กำรพิสจู น์ที่เห็นในตัวอย่ำงมำตลอดเป็ น direct proofs
ใน direct proof
p
 ใช้ rules of inference ในกำรสรุปข้อมูลเป็ นลำดับ
 เพื่อจะแสดงให้ได้วำ่ ข้อสรุป q เป็ นจริง
 ต้องมีกำรกำหนดสมมุติฐำน

ตัวอย่าง: จงพิสจู น์วำ่ ถ้ำ n เป็ นเลขคี่ แล้ว n2 จะเป็ นเลขคี่
 กำหนด n เป็ นเลขคี่ สำมำรถแทนได้ดว้ ย n = 2k + 1, สำหรับทุก k ใน Z
n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 2k + 1 = 2(2k2 + k)+1
 2 คูณกับอะไรก็ได้เลขคู่ เมื่อ + 1 ก็เป็ นเลขคี่

Proof by Contrapositive (Indirect proof)


ทบทวนควำมจำว่ำ (pq)  (q  p)
พื้ นฐำนของกำรพิสจู น์แบบ Indirect proof คือ
กำหนดให้ขอ้ สรุปเป็ นเท็จ (q เป็ นจริง)
 จำกนั้นใช้กฎต่ำงๆ ตำมลำดับ
 เพื่อแสดงให้เห็นว่ำสมมุติฐำนเป็ นเท็จ (p เป็ นจริง)


ตัวอย่าง :
 จงพิสจ
ู น์วำ่
ถ้ำ x3 <0 แล้ว x<0
 contrapositive
คือ “if x0 แล้ว x3  0”
 Proof
1.
2.
If x=0  x3=0  0
If x>0  x2>0  x3>0
Proof by Contrapositive: ตัวอย่ำง

ตัวอย่าง: จงพิสจู น์วำ่ “ถ้ำ 3n + 2 เป็ นจำนวนคี่, แล้ว n เป็ นจำนวนคี่”

สำมำรถแปลงประโยคได้เป็ น
ถ้ำ n เป็ นจำนวนคู่ แล้ว 3n + 2 เป็ นจำนวนคู่
กำหนดให้ n เป็ นจำนวนคู่
 เลขคู่สำมำรถแทนได้ดว้ ย n = 2k , สำหรับทุก k ใน Z
 ดังนั้ น 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k+2 = 2(3k + 1)
 2 คูณกับจำนวนเต็มใดๆ จะได้ เป็ นเลขคู่


ดังนั้นประโยค “ถ้ำ 3n + 2 เป็ นจำนวนคี่, แล้ว n เป็ นจำนวนคี่” เป็ นจริง
Proof by Contradiction

เพื่อที่จะพิสจู น์วำ่ statement p เป็ น true
จะต้องกำหนดให้ p เป็ นเท็จก่อน
 จำกนั้นอนุ มำนตำมขึ้ นตอนเพื่อให้เกิดกำรขัดแย้งกันของข้อสรุป


ตัวอย่าง: จงพิสจู น์วำ่ “ถ้ำ 3n + 2 เป็ นจำนวนคี่, แล้ว n เป็ นจำนวนคี่”
ในกำรพิสจู น์แบบ contradiction จะกลับผลสรุปและกำหนดให้ n เป็ นจำนวนคู่
 เมื่อ n เป็ นจำนวนคู่ หมำยควำมว่ำ n = 2k, , สำหรับทุก k ใน Z
 ดังนั้น 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k +2 = 2(3k + 1) ซี่งเป็ นเลขคู่
 จะเห็นว่ำ มีกำรขัดแย้งกับโจทย์ที่บอกว่ำ 3n + 2 เป็ นเลขคี่
 ดังนั้นจึงสรุปได้วำ่ “ถ้ำ 3n + 2 เป็ นจำนวนคี่, แล้ว n เป็ นจำนวนคี่” เป็ นจริง

Proof by Cases

บำงครั้งจะง่ำยต่อกำรพิสจู น์ theorem โดยกำร
cases
 และพิสจ
ู น์แยกอิสระต่อกัน
 แบ่งส่วนของเป็ นแต่ละ

ตัวอย่าง : กำหนด n  Z. พิสจู น์วำ่ 9n2+3n-2 เป็ นเลขคู่
 9n2+3n-2
1.
2.
3.
= (3n + 2)(3n - 1)
ถ้ำ (3n + 2) เป็ นเลขคู่ เลขคูค่ ณ
ู กับอะไรก็ได้ผลเป็ นเลขคู่
ถ้ำ (3n + 2) เป็ นเลขคี่ (3n – 1) ก็จะเป็ นเลขคู่ เลขคูค่ ณ
ู กับอะไรก็ได้ผล
เป็ นเลขคู่
ดังนั้นจึงสรุปได้วำ่ 9n2+3n-2 เป็ นเลขคู่
Warm up ก่อนทำแบบฝึ กหัด


จงใช้วิธี direct proof พิสจู น์วำ่ “ผลบวกของเลขคี่ 2 ตัวให้ผล
เป็ นเลขคู่”
จงแสดงว่ำ “ถ้ำ n3 + 5 เป็ นเลขคี่ แล้ว n เป็ นเลขคู่”
proof by contraposition
 ด้วยวิธี proof by contradiction
 ด้วยวิธี
แบบฝึ กหัดทำส่ง

จงใช้ rules of inference เพื่อแสดงว่ำ



จงพิสจู น์วำ่ “n เป็ นเลขคี่ ก็ต่อเมื่อ 5n + 6 เป็ นเลขคี่” ในขอบเขต n เป็ น
จำนวนเต็มบวก
กำหนดให้ x เป็ นจำนวนเต็มคู่ จงพิสจู น์วำ่




ถ้ำ ∀x(P(x) →(Q(x) ∧ S(x))) และ ∀x(P(x) ∧ R(x)) เป็ นจริงแล้ว ∀x(R(x)
∧ S(x)) เป็ นจริง
3x + 2 เป็ นเลขคู่
x + 5 เป็ นเลขคี่
x2 เป็ นเลขคู่
จงพิสจู น์วำ่ ถ้ำ 3n + 2 เป็ นเลขคู่ แล้ว n เป็ นเลขคู่ ด้วยวิธี


proof by contraposition.
proof by contradiction.