‫סדנה מתקדמת בהוראת המתמטיקה‬
‫מרצה‪ :‬דר' בוריס קויצ'ו‬
‫מתרגל‪ :‬מר איגור קונטורוביץ'‬
‫חברי הקבוצה‪:‬‬
‫יוליה אלקין‬
‫עביר סלאמה‬
‫אמאני חיר‬
‫רועי לחמי‬
‫פיתרון בעיות ‪ -‬הקדמה‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫•‬
‫פיתרון בעיות מפוליה עד היום – ענף גדול במחקר‬
‫חינוך מתמטי‬
‫פתרון בעיות וחיבור בעיות‬
‫למידה מתרחשת דרך פתרון בעיות ולכן בעיות‬
‫טובות עשויות לשפר תהליך‬
‫מורה – דמות שעשויה לחנך את התלמידים לפתור‬
‫בעיות‬
‫פיתרון בעיות ‪ -‬היסטוריה‬
‫• התפתחות התחום‪:‬‬
‫– היוריסטיקות ואסטרטגיות‬
‫– מאפיינים של פותר בעיות מוצלח מול גורמים אשר‬
‫מביאים להצלחה בפיתרון בעיות (רגשות‪ ,‬אמונות וכו')‬
‫השוואה בין המומחה לבין הטירון‬
‫– מודלים המסבירים תהליך פיתרון בעיות‬
‫– עקרונות פדגוגיים ועקרונות הקשורים לתלמידים (כמו‬
‫עיקרון חסכנות)‬
English, L. & Sriraman, B. (2010). Problem solving for the 21th
century. In B. Sriraman & L. English (Eds.), Theories of
Mathematics Education: Seeking new frontier. Berlin: Springer,
263-290.
Mousoulides, M. Sriraman, B., Pittalis, M., & Christou, C.
(2007). Tracing students' modeling processes in elementary and
secondary school. Paper presented at 5th Congress of the
European Society for Research in Mathematics Education
(CERME – 5), Cyprus.
‫מתמטיקה‬
‫בעייה‬
The best way to teach mathematical ideas is to start with interesting
problems whose solution requires the use of ideas.
Use problem solving as a powerful means to develop substantive
mathematical concept.
‫בעייה‬
Real word
problem
‫מתמטיקה‬
Integration
within all topic
areas
Outside the
class
a. complex systems.
b. plan, monitor and
assess progress
c. adapt quickly to
technologies.
‫מתמטיקה‬
‫* גורן‪ ,‬ב‪ .‬אלגברה חלק ב'‪ ,‬הוצאת עצמית‪ ,‬עמ' ‪155‬‬
‫בעייה‬
Mathematical models = "systems of elements, operations,
relationships and rules that can be used to describe, explain,
or predict the behavior of some other familiar system”
Modeling problems are realistically complex situations where the problem solver
engages in mathematical thinking beyond the usual school experience and where
the products to be generated often include complex artefacts or conceptual tools
that are needed for some purpose, or to accomplish some goal.
Modeling
Mathematical models = "systems of elements, operations,
relationships and rules that can be used to describe, explain,
or predict the behavior of some other familiar system”
Elicit my own
Make sense
meaningful
mathematics
sorting
organizing
selecting
Modeling
quantifying
Transforming
large data
making
representation
Interpreting
Cyclic process
selecting
identifying
University’s Cafeteria
Construct models for selecting the best among a
number of employees

Not just one right
answer

Reformulating the
problem

Elicit my own
mathematics
‫בעייה‬‫ מתמטיקה‬
‫סטטיסטיקה‬
Complex system
Hours, money, seasons
sorting

Real world
organizing

selecting
Outside the

class
quantifying
Transforming
large data
making
representation
Interpreting
Cyclic process
selecting

identifying
1. What aspects of the targeted mathematical theory can students come to
appreciate through their individual or collective problem solving processes?
2. What aspects of the theory are difficult to be noticed by students only
through their natural problem solving processes?
Nunokawa, K. (2005). Mathematical problem solving and learning mathematics:
what we expect students to obtain. The Journal of Mathematical Behavior, 24 (34), 325-340.
Leikin, R. (2004). Towards high quality geometrical tasks:
reformulation of a proof problem. In M. J. Hoines & A. B.
Fuglestad (Eds.) Proceedings of the 28th International
Conference for the Psychology of Mathematics Education, Vol.
3, 209-216.
:‫ קריטריונים לקביעת איכות הבעייה‬4
The person has to be motivated to find a solution
No readily available procedures
The person has to make an attempt and persists to reach a solution
Several solving approaches
‫בעייה‬
:‫ קריטריונים לקביעת איכות הבעייה‬4
The person has to be motivated to find a solution
No readily available procedures
The person has to make an attempt and persists to reach a solution
Several solving approaches
‫בעיית חקר‬
challenging
Cognitively
demanding
High
motivated
‫עד כמה לפתוח את הבעייה?‬
‫‪ .1‬הוכח שגובה הטרפז שווה לקטע האמצעים‬
‫‪ .2‬השווה בין הגובה לקטע האמצעים‪.‬‬
‫‪ .3‬מצא יחסים אפשריים בין הקטעים היוצאים מאמצעי הצלעות הנגדיות‪.‬‬
‫‪ .4‬אותה שאלה ללא הנחייה לבניית עזר‪( .‬לא רבלנטי לבעייה לעיל)‪.‬‬
‫‪ .5‬מצא גדלים שווים בטרפז זה‪.‬‬
‫‪ .6‬מה תוכל לומר על טרפז זה?‬
‫מסעיף ‪ 2‬שימוש בתוכנת גיאומטריה דינמית‪.‬‬
‫מה‬
‫ההבדל?‬
‫דוגמאות‬
‫לבעיות‬
‫מתמטיות‬
‫"טובות"‬
‫הקריטריונים של "לייקן" לבעיות מתמטיות טובות‪:‬‬
‫א‪ -‬לפותר הניגש לבעיה‪ ,‬צריכה להיות מוטיבציה כדי למצוא את הפתרון‪.‬‬
‫ב‪ -‬לפותר אין פתרונות זמינים‪.‬‬
‫ג‪ -‬הפותר צריך לנסות ולהתעקש כדי להגיע לפתרון‪.‬‬
‫ד‪ -‬לבעיה יש גישות שונות לפתרון‪.‬‬
‫דוגמה ראשונה‪:‬‬
‫לחבר בעיות מילוליות שלפתרונן דרוש לחבר ולפתור‬
‫את המשוואה הבאה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x2‬‬
‫בטכניון קיימות שתי בריכות בעלות צורה מלבנית בשטח ‪ 1‬ק"מ בריבוע‪.‬‬
‫מידות הבריכה הראשונה הן‬
‫‪xy‬‬
‫ומידות השנייה הן‬
‫‪. ( x  2)  z‬‬
‫המורה לספורט רצה לאתגר את הסטודנטים וביקש שיחשבו את‬
‫ידוע ש‪-‬‬
‫‪z y 1‬‬
‫‪x‬‬
‫אם‬
‫‪.‬‬
‫במרוץ החייזרים של שנת ‪ 2800‬השתתפו ‪ 100‬חייזרים מגלקסיה ‪ ‬במרוץ‬
‫בין הכוכבים‪.‬‬
‫החייזר ‪ ‬הגיע לקו הסיום לפני החייזר ‪ ‬בשתי שניות‪.‬‬
‫כמה זמן לקח לחייזר‬
‫‪‬‬
‫כדי להגיע לנקודת הסיום אם ידוע לך שהמהירות‬
‫של החייזר ‪ ‬יותר גדולה מהמהירות שלו ב‬
‫‪sec‬‬
‫‪? 1 km‬‬
‫דוגמה שנייה‪:‬‬
‫הוכח את המשפט‪:‬‬
‫"במשולש שווה צלעות‪ ,‬סכום המרחקים של כל נקודה שאינה‬
‫חיצונית למשולש‪ ,‬מצלעות המשולש‪ ,‬שווה לאורך הגובה של‬
‫המשולש"‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A+B+C=H‬‬
‫אפשר להמיר את הבעיה ולפתחה לבעיות שונות באמצעות השיטה‬
‫"מה אם לא?" ‪ ,‬וזה עבור סוגי משולשים אחרים‪ ,‬או למשל עבור‬
‫מרובעים‪ ,‬כמו בטבלה הבאה‪:‬‬
‫מרובע‬
‫האם קיימת תכונה מיוחדת עבור סכום המרחקים של נקודה‬
‫פנימית מצלעות המרובע? מהי?‬
‫מקבילית‬
‫מלבן‬
‫מרובע‬
‫מעוין קמור‬
‫מרובע כלשהו‬
‫אפשר לשאול את השאלה "מה אם לא?" במישור אלא במרחב‪.‬‬
‫למשל רואים שמתקיימת אותה התכונה עבור טטראדר משוכלל מארבע הדפנות‬
‫שלו ורואים שמתקבלת תכונה מעניינת שהיא‪:‬‬
‫"סכום המרחקים של נקודה פנימית בטטראדר מארבע הדפנות‬
‫שלו שווה לגובה הטטראדר"‬
‫קשיים אפשריים‪:‬‬
‫ קשיים בפתרון הבעיה המקורית בקרב התלמידים‪.‬‬‫‪ -‬קשיים במציאת בעיות נוספות לפי השיטה של "מה אם לא?"‪.‬‬