PRÁCTICO 6 -
Extremos y Optimización
6FM -2023
Ejercicio 1
En las siguientes funciones halla puntos críticos y clasifícalos en mínimos, máximos y/o puntos
singulares, trabajando en los dominios más amplios posibles en los reales en las primeras tres funciones
dadas.
𝑥4
1)𝑓: 𝐷 → 𝑅 / 𝑓 𝑥 = 4 − 2𝑥 2
3𝑥
2) 𝑓: 𝐷 → 𝑅 / 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 +1
𝑥2
3) 𝑓: 𝐷 → 𝑅 / 𝑓 𝑥 = 𝑥−2
𝑥+1 , 𝑥 <0
𝑥3 , 𝑥 < 0
5) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 / 𝑓 𝑥 =
2
𝑒𝑥 , 𝑥 ≥ 0
𝑥 − 2𝑥 , 𝑥 ≥ 0
𝑥+3 , 𝑥 <1
6) 𝑓: [−3, +∞) → 𝑅 / 𝑓 𝑥 = 2
7) 𝑓: 𝑅 ∗ → 𝑅 / 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛 2𝑥 − 𝑥 2
,
𝑥
≥
1
𝑥
4) 𝑓: 𝑅 → 𝑅 / 𝑓 𝑥 =
Ejercicio 2
1. Encuentra dos números no negativos, cuya suma sea 10 y su producto sea máximo.
2. Encuentra dos números positivos, cuya producto sea 12 y la su suma de sus cuadrados sea
mínima.
3. De los rectángulos de perímetro 12, ¿cuál es el que tiene menor diagonal?
4. Con 1000 metros de tejido se desea cerrar un terreno rectangulardonde uno de sus lados es un
muro ya construido. Si se quiere obtener la mayor área posible para la superficie cercada, ¿qué
dimensiones debe tener al utilizar el tejido para los tres lados restantes?
5. Un productor quiere instalar un alambre eléctrico en dos corrales idénticos, cada uno de
1200 𝑚2 de área como se muestra en la figura.
i- ¿Cuáles deben ser las dimensiones de de los corrales para que se utilice la mínima cantidad de
alambre posible?
ii- Suponga ahora que el perímetro exterior de los corrales necesita alambres gruesos, que
cuestan 10 $ el metro, mientras que para la división interior se utiliza un alambre mas fine de 4 $
el metro. ¿Qué medidas producen el menor costo total del alambre?
x
y
6- Un productor compró 100 m de alambre eléctrico para construir dos corrales de igual forma
que los del ejercicio anterior. ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el área de la superficie
encerrada sea máxima?
Ejercicio 3
1) Busca un punto de la parábola y 2  4 x , cuya distancia al punto P(4,0) sea mínima.
2) Entre todo los triángulos isósceles de perímetro 18 cm, ¿cuál es el de área máxima?
3) Tomando una cancha de fútbol determinar el punto A sobre una de las líneas laterales desde donde puede
4)
5)
6)
7)
8)
verse el arco con mayor amplitud posible (desde dónde podría ser más beneficioso tirar un tiro al arco, por
ejemplo). Utilizar medidas coherentes para el arco y el ancho de la cancha (los únicos datos necesarios).
Halla la ecuación de la recta que pasando por el punto M(2,1), los semiejes positivos de coordenadas
determinen sobre ella un segmento AB no nulo y de longitud mínima.
Inscribe un trapecio de área máxima en un semicírculo de radio r (una base en el diámetro).
La suma de aristas de un prisma recto de base cuadrada es de 72 cm. ¿Qué dimensiones debe tener dicho
prisma para que su volumen sea máximo?.
La base menor de un trapecio rectángulo mide 10 cm y el lado oblicuo 20 cm. Hallar al ángulo que debe
formar el lado oblicuo con la base mayor para que el área del trapecio sea máxima.
En una circunferencia se considera una cuerda variable perpendicular a un diámetro
fijo. Se unen los extremos de la cuerda con los extremos del diámetro. Hallar la cuerda que hace que la
diferencia de las áreas de los triángulos formados sea máxima.
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