Tema 0: Las bases de las matemáticas
1. El conjunto de los números reales
1.1 Operaciones con fracciones
2. Intervalos y semirrectas
3. Potencias
3.1 Propiedades de las potencias
3.2 Identidades y productos notables
4. Radicales
5. Logaritmos
5.1 Propiedades de los logaritmos
5.2 Tipos de logaritmos
6. Valor absoluto
7. Notación científica
8. Aproximaciones y errores
8.1 Aproximaciones
8.2 Errores
9. Resolución de ecuaciones lineales
9.1 Ecuaciones de primer grado
9.2 Ecuaciones de segundo grado
9.3 Ecuaciones de tercer grado o superior
10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
10.1 Tipos de sistemas
10.2 Métodos de resolución
10.2.1 Método de sustitución
10.2.2 Método de igualación
10.2.3 Método de reducción
10.3 Resolución de problemas usando sistemas de ecuaciones lineales
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1. El conjunto de los números reales:
El conjunto de los números reales se denota por ℝ. Dicho conjunto engloba a todos los números
que conocemos.
Esquema de los números reales:
-
El conjunto de los números naturales (ℕ): son los números que van del cero en adelante.
ℕ = {0,1,2,3,4, ⋯ }
-
El conjunto de los números enteros (ℤ): son los números positivos y negativos, es decir son
los naturales unidos a los números negativos.
ℤ = {… − 4, −3, −2 − ,1,0,1,2,3,4, ⋯ }
-
El conjunto de los números racionales (ℚ): son las fracciones, tanto las enteras como aquellas
que dan de resultado un decimal exacto o periódico.
El conjunto de los números irracionales (𝐼): está formado por todos aquellos números reales
que no son racionales. Es decir, tienen infinitas cifras decimales, pero no forma período.
-
Estos números se representan en la recta real y con ellos se realizan las operaciones que
conocemos suma, resta, producto (multiplicación) y cociente (división) las cuales debemos
dominar con soltura. En concreto, vamos a recodar las operaciones con fracciones ya que
aparecerán a la hora de resolver ecuaciones,
1. Operaciones con fracciones.
- Suma y resta de fracciones:
a) Si tienen el mismo denominador basta con mantener el denominador y sumar o restar los
numeradores
𝑎 𝑐 𝑎±𝑐
± =
𝑏 𝑏
𝑏
b) Si tienen distinto denominador, se realizará el mínimo común múltiplo de los denominadores
y se ajustarán los numeradores para después repetir el apartado a).
Ejemplo:
7 11 3 ⋅ 7 + 2 ⋅ 11 21 + 22 43
+
=
=
=
24 36
72
72
72
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-
Multiplicación de fracciones: se multiplica en línea
𝑎 𝑐 𝑎⋅𝑐
⋅ =
𝑏 𝑑 𝑏⋅𝑑
-
División de fracciones: se multiplica en cruz
𝑎 𝑐 𝑎⋅𝑑
: =
𝑏 𝑑 𝑏⋅𝑐
2. Intervalos y semirrectas:
Un intervalo es un subconjunto de números reales que se encuentra entre dos valores
preestablecidos que delimitan un extremo inferior y otro superior. El extremo inferior siempre
será el número menor.
Para entender los intervalos, es necesario recordar los signos que muestran las desigualdades.
Por tanto, sean 𝑎 y 𝑏 números reales diremos que:
𝑎 ≥ 𝑏 ∶ 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏
𝑎 ≤ 𝑏 ∶ 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑏
𝑎 > 𝑏 ∶ 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏
𝑎 < 𝑏 ∶ 𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏
Atendiendo a dichas desigualdades, los intervalos se clasifican en:
-
Intervalo abierto: representado por paréntesis, (𝑎, 𝑏)
(𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}
Son los números que están comprendidos entre 𝑎 y 𝑏 sin incluir a ninguno de los dos. Por
ejemplo: (2,4) = {𝑥 ∈ ℝ: 2 < 𝑥 < 4} nos referimos a todos los números que están entre 2 y 4
sin incluir ninguno de los dos, es decir, podemos coger desde el 2′ 100… hasta el 3′ 99 ….,
debemos incluir decimales.
-
Intervalo cerrado: representado por corchetes [𝑎, 𝑏]
[𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏}
Son los números que están comprendidos entre 𝑎 y 𝑏 sin incluyendo los dos. Por ejemplo:
[−4,0] = {𝑥 ∈ ℝ: 2 ≤ 𝑥 ≤ 4} nos referimos a todos los números que están entre -4 y 0,
incluyendo a ambos.
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-
Intervalos semiabiertos: es una combinación de los intervalos anteriores. Pueden ser de
dos tipos:
(𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏}
ó
[𝑎, 𝑏) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏}
(𝑎, 𝑏]: son los números que están comprendidos entre 𝑎 y 𝑏 incluyendo el número 𝑏 pero no al
𝑎. Por ejemplo: (−4,1] = {𝑥 ∈ ℝ: −4 < 𝑥 ≤ 1} nos referimos a todos los números que están
entre -4 y 0, incluyendo al 1 pero no al -4.
[𝑎, 𝑏): son los números que están comprendidos entre 𝑎 y 𝑏 incluyendo el número 𝑎 pero no al
𝑏. Por ejemplo: [−4,1) = {𝑥 ∈ ℝ: −4 ≤ 𝑥 < 1} nos referimos a todos los números que están
entre -4 y 0, incluyendo al -4 pero no al 1.
-
Semirectas: son intervalos a los que “les falta” un extremo, en particular no les falta como
tal, sino que dicho extremo es +∞ o −∞. Pueden ser:
(−∞, 𝑎) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 < 𝑎} (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 − ∞ ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎)
(−∞, 𝑎] = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≤ 𝑎} (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 − ∞ ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎)
(𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 > 𝑎} (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 + ∞)
[𝑎, +∞) = {𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≥ 𝑎} (𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 + ∞)
Los intervalos son útiles para la representación de conjuntos numéricos. Además, es necesario su
dominio ya que en temas posteriores serán necesarios.
3. Potencias
Una potencia es un producto consecutivo, es decir, cuando realizamos una multiplicación de un
número por sí mismo varias veces surge la potencia. Se representa de forma general como:
𝑎𝑏
Donde 𝑎 es la base y 𝑏 el exponente. Esto se lee como 𝑎 elevado a 𝑏.
Por ejemplo, queremos multiplicar el número 3 cuatro veces por sí mismo:
3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 34 = 81
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El exponente de la potencia puede ser cualquier número real, por eso surgen las propiedades de
las potencias. Antes de ello, hagamos unas aclaraciones:
-
Si la base de la potencia es un número negativo (𝑎 < 0) y el exponente un número par el
resultado será un número positivo.
(−𝑎)𝑛º𝑝𝑎𝑟 = (𝑎)𝑛º𝑝𝑎𝑟
Por ejemplo: (−3)4 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = 81
-
Si la base de la potencia es un número negativo (𝑎 < 0) y el exponente un número impar
el resultado será un número negativo.
(−𝑎)𝑛º𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 = −𝑎𝑛º𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
Por ejemplo: (−3)3 = (−3) ⋅ (−3) ⋅ (−3) = −27
-
-
Si la base de la potencia es un número negativo (𝑎 > 0) y el exponente un número
positivo (𝑏 > 0) independientemente de si es par o impar el resultado será un número
positivo.
Si el exponente es un número fraccionario, surgen las raíces.
𝑎
𝑏⁄
𝑛
𝑛
= √𝑎𝑏
Ejemplos:
3
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1⁄
2
2
= √31 = √3
3⁄
5
(−3)
5
= √(−3)3
5
3.1. Propiedades de las potencias
Propiedades
Ejemplos
Producto (multiplicación) de potencias de la misma base:
se mantiene la base y se suman los exponentes.
23 ⋅ 2−5 = 23+(−5) = 2−2
𝑎𝑛 ⋅ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚
Cociente (división) de potencias de la misma base: se
mantiene la base y se restan los exponentes.
(−5)7
= (−5)7−4 = (−5)3
(−5)4
𝑎𝑛
= 𝑎𝑛 : 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚
𝑎𝑚
Potencia de un producto de distinta base e igual
exponente: se multiplican las bases y se deja el
exponente.
2
(−3)2 ⋅ 22 = ((−3) ⋅ 2) = (−6)2
𝑎𝑛 ⋅ 𝑏 𝑛 = (𝑎 ⋅ 𝑏)𝑛
Potencia de un cociente de distinta base e igual
exponente: se dividen las bases y se deja el exponente.
𝑎𝑛 : 𝑏 𝑛 = (𝑎: 𝑏)𝑛
𝑎 𝑛 𝑎𝑛
( ) = 𝑛
𝑏
𝑏
Potencia de una potencia: se mantiene la base y se
3 6 36
( ) = 6
5
5
6 4 64
( ) = 4 = 64 : 24 = (6: 2)4
2
2
= 34
(42 )−1 = 42⋅(−1) = 4−2
multiplican los exponentes
(𝑎𝑛 )𝑚 = 𝑎𝑛⋅𝑚
5−3 =
Potencia de exponente negativo: se mantiene la base y
para convertir el exponente en positivo se usa la fracción
𝑎−𝑛 =
1
𝑎𝑛
1
53
1 −4
3 4
( ) = ( ) = 34
3
1
70 = 1
Potencia de exponente nulo (cero): cualquier base
(−2)0 = 1
elevada al exponente cero vale siempre 1.
𝑎0 = 1
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3.2. Identidades y productos notables
Cuadrado de una suma: es igual al cuadrado del primero más dos veces el primero por el segundo,
más el cuadrado del segundo:
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
¡Importante! No confundir con (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 𝑏 2 es ERROR COMÚN.
Cuadrado de una diferencia (resta): es igual al cuadrado del primero menos dos veces el primero
por el segundo, más el cuadrado del segundo:
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2
¡Importante! No confundir con (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 𝑏 2 es ERROR COMÚN.
Suma por diferencia: es igual a la diferencia de cuadrados
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏 2
4. Radicales
Cuando hablamos de radicales no referimos a las raíces que son consecuencia inmediata de las
potencias.
𝑛
√𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 = 𝑏 𝑛
𝑛
Donde √𝑎 es el radical, 𝑎 es el radicando y 𝑛 es el índice de la raíz. Si 𝑎 es un número positivo, la
𝑛
𝑛
√𝑎 existe siempre; pero si 𝑎 es un número negativo, la √𝑎 existe solo cuando n es un número
impar, en el caso de ser par no existe.
Si queremos expresar la raíz como potencia tenemos que:
𝑛
√𝑎 𝑏 = 𝑎
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𝑏⁄
𝑛
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5. Logaritmos
Los logaritmos son funciones que dependen de una base 𝑎 (la cuál siempre ha de ser positiva y
distinta de 1) y de un argumento 𝑏 (también ha de ser positivo). Se define como:
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 = 𝑥 ⇒ 𝑎 𝑥 = 𝑏
Se leen como logaritmo de b en base a. Además, para poder eliminar el logaritmo debemos
utilizar las potencias debido a su definición. Por ejemplo:
𝑙𝑜𝑔2 8 = 3 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 23 = 8
5.1. Propiedades de los logaritmos.
Aplicables a cualquier tipo de logaritmo
Propiedades
Ejemplos
El logaritmo de a en base a es igual a 1.
𝑙𝑜𝑔3 3 = 1
𝑙𝑜𝑔10 10 = 1
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑎 = 1
El logaritmo de 1 en base a es igual a 0.
𝑙𝑜𝑔10 1 = 0
𝑙𝑜𝑔2 1 = 0
𝑙𝑜𝑔𝑎 1 = 0
El logaritmo de un producto es igual a la suma
𝑙𝑜𝑔10(3𝑥 ⋅ 𝑦) = 𝑙𝑜𝑔10 3𝑥 + 𝑙𝑜𝑔10 𝑦
𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏 ⋅ 𝑐) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 + 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑐
El logaritmo de un cociente es igual a la resta
𝑏
𝑙𝑜𝑔𝑎 ( ) = 𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑏) − 𝑙𝑜𝑔𝑐 (𝑐)
𝑐
El logaritmo de una potencia es igual al exponente por
el logaritmo de la base.
𝑙𝑜𝑔10 (
3𝑥
) = 𝑙𝑜𝑔10 (3𝑥) − 𝑙𝑜𝑔10 (2𝑦)
2𝑦
𝑙𝑜𝑔10 24 = 4 ⋅ 𝑙𝑜𝑔10 2
𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑏 𝑛 = 𝑛 ⋅ 𝑙𝑜𝑔𝑎 b
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Problema resuelto
1. Utilizando la definición y las propiedades de los logaritmos calcular,
1
𝑙𝑜𝑔2 64 + 𝑙𝑜𝑔2 ( ) − 𝑙𝑜𝑔3 9 − 𝑙𝑜𝑔2 √2
2
Solución
Para poder aplicar las propiedades de los logaritmos, en primer lugar, debemos descomponer
los argumentos,
1
𝑙𝑜𝑔2 64 + 𝑙𝑜𝑔2 ( ) − 2 𝑙𝑜𝑔3 9 − 𝑙𝑜𝑔2 √2
2
1
1
𝑙𝑜𝑔2 26 + 𝑙𝑜𝑔2 ( ) − 𝑙𝑜𝑔3 32 − 𝑙𝑜𝑔2 2 ⁄2
2
Aplicando la quinta propiedad a la igualdad anterior tenemos,
1
1
6 ⋅ 𝑙𝑜𝑔2 2 + 𝑙𝑜𝑔2 ( ) − 2 ⋅ 𝑙𝑜𝑔3 3 − ⋅ 𝑙𝑜𝑔2 2
2
2
A continuación, aplicamos la primera propiedad,
1
1
6 ⋅ 1 + 𝑙𝑜𝑔2 ( ) − 2 ⋅ 1 − ⋅ 1
2
2
Finalmente aplicando la cuarta propiedad y realizando las operaciones tenemos el resultado,
6 + 𝑙𝑜𝑔2 (1) − 𝑙𝑜𝑔2 (2) − 2 −
1
1 5
=6+0−1−2− =
2
2 2
5.2. Tipos de logaritmos.
Atendiendo a la base se presentan los siguientes logaritmos:
a) Logaritmo decimal: son logaritmos con base 10, se expresaría 𝑙𝑜𝑔10 aunque es más común
simplemente poner 𝑙𝑜𝑔 dando por supuesto que la base es 10.
𝑙𝑜𝑔10 𝑏 = log 10
b) Logaritmo neperiano: son logaritmos con base el número 𝑒, se podría expresar 𝑙𝑜𝑔𝑒 (𝑏)
aunque usaremos su notación más común 𝑙𝑛(𝑏).
𝑙𝑜𝑔𝑒 (𝑏) = 𝑙𝑛(𝑏)
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6. Valor absoluto
El valor absoluto de un número real es la distancia de ese número al número 0, es decir, al origen
de la recta real.
Se define como una función por partes,
|𝑎| = { 𝑎 𝑠𝑖 𝑎 ≥ 0
−𝑎 𝑠𝑖 𝑎 < 0
Como consecuencia de esta definición será útil para desglosar funciones.
Si nos centramos en el valor absoluto de un número, es siempre ponerlo en positivo. Veamos los
siguientes ejemplos:
𝑎) |8| = 8
𝑏) |−8| = 8
𝑐) |−2| + |3| − |−1| = 2 + 3 + 1 = 6
7. Notación científica
La notación científica es utilizada a la hora de trabajar con números muy grandes para simplificar
su expresión ya que su valor numérico se mantiene.
Un número está expresado en notación científica si se escribe como el producto de un número
mayor o igual que uno y menor que 10 multiplicado por una potencia de 10.
𝑎 ⋅ 10𝑛
Donde 𝑎 es el valor entre 1 y 10 (sin incluir el 10) y 𝑛 es el orden de magnitud que puede ser
positivo o negativo.
Atendiendo al signo de n, sabemos si hemos desplazado la coma del decimal hacia la derecha o
hacia la izquierda, antes de continuar hemos de destacar que, si el número no posee coma por
no ser número decimal, la coma se encuentra al final.
Si n es positivo: la coma del número decimal sube, se desplaza hacia la izquierda.
Si n es negativo: la coma del número decimal baja, se desplaza hacia la derecha.
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Problema resuelto
2. Dados los siguientes valores, expresarlos en notación científica,
a) 26 531 000 000
26 531 000 000 = 2′6531 ⋅ 1010
Se ha desplazado la coma hacia la izquierda 10 posiciones para obtener el valor de 2′6531 por
eso n es 10.
b) 947855’36
947855′ 36 = 9′ 4785536 ⋅ 105
Se ha desplazado la coma hacia la izquierda 5 posiciones para obtener el valor de 9′4785536 por
eso n es 5.
c) 0’0000001645
0’0000001645 = 1′ 645 ⋅ 10−7
Se ha desplazado la coma hacia la derecha 7 posiciones para obtener el valor de 1′645 por eso n
es -7.
7.1. Operaciones con notación científica.
-
Suma y resta: es necesario que los números estén expresados en el mismo orden de
magnitud (mismo n), es aconsejable establecer dicho orden de magnitud con el mayor valor
presente. Tras ello se suman los valores de a y se deja la base 10.
Por ejemplo: 5′ 3 ⋅ 1012 + 3 ⋅ 1011
5′ 3 ⋅ 1012 + 3 ⋅ 1011 = 5′ 3 ⋅ 1012 + 0′ 3 ⋅ 1012 = (5,3 + 3) ⋅ 1012 = 5,3 ⋅ 1012
-
Producto y división: por un lado, se multiplican o dividen los números y por otro se operan
las potencias de 10 con las propiedades de las potencias.
Por ejemplo: (1′ 2 ⋅ 1012 ) ⋅ (4′ 1 ⋅ 10−8 )
(1′ 2 ⋅ 1012 ) ⋅ (4′ 1 ⋅ 10−8 ) = (1′ 2 ⋅ 4′1) ⋅ (1012+(−8) ) = 4′ 92 ⋅ 104
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8. Aproximaciones y errores.
Cuando se trabaja con números decimales, en ocasiones, es necesario aproximar su valor ya que
no es posible trabajar con el número completo debido a la gran cantidad de dígitos que poseen.
ES en ese momento cuando surgen las aproximaciones y los errores.
8.1. Aproximaciones.
Se dice que de un número real tomamos una aproximación de orden n cuando se trata de un
número racional con n cifras decimales.
Ejemplo:
3√5
= 1′ 7 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 1)
4
3√5
= 1′ 677 (𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 3)
4
Existen tres métodos de aproximación,
1. Por defecto o truncamiento: se eliminan las cifras decimales a partir del orden
considerado.
2. Por exceso: se eliminan las cifras decimales hasta el orden considerado y se añade (se
suma) una cifra al último número.
3. Redondeo: se eliminan todas las cifras decimales a partir del orden indicado y, si la cifra
siguiente al orden considerado es mayor o igual que 5, se añade (suma) una unidad a la
última cifra.
Ejemplo: Aproximar hasta las milésimas 5’245848 (milésimas es orden 3)
5’245848
Por defecto: 5’245
Por exceso: 5’246
Redondeo: 5’246 (como la siguiente cifra al 5 es el 8 y es un número mayor que 5
debemos sumar la unidad)
8.2. Errores.
8.2.1. Error absoluto.
El error absoluto (𝐸𝑎 ) de una medida aproximada es el valor absoluto de la diferencia entre el
valor real (𝑉𝑟 ) y el valor aproximado (𝑉𝑎 ),
𝐸𝑎 = |𝑉𝑟 − 𝑉𝑎 |
Ejemplo: En el ejemplo anterior, calcule el error absoluto que se comete al redondear,
𝐸𝑎 = | 5’245848 − 5’246| = 0′000152
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8.2.2. Error relativo.
El error absoluto (𝐸𝑟 ) de una medida aproximada es el cociente entre el error absoluto (𝐸𝑎 ) y el
valor real (𝑉𝑟 ),
𝐸𝑟 = |
𝐸𝑎
|
𝑉𝑟
El error relativo es menor mientras más cifras significativas se usen.
Ejemplo: En el ejemplo anterior, calcule el error relativo que se comete al redondear,
0′000152
𝐸𝑟 = |
| = 0′000028975
5’245848
9. Resolución de ecuaciones lineales:
9.1. Ecuaciones de primer grado.
Una ecuación de primer grado es una igualdad del tipo
𝑎𝑥 = 𝑏
Donde 𝑎 𝑦 𝑏 son números reales conocidos, a es distinta de cero. x es la incógnita, es decir,
aquello que queremos resolver mientras que 𝑎 𝑦 𝑏 son los llamados coeficientes de la ecuación;
además 𝑏 es también el término independiente.
Los pasos para resolver una ecuación de primer grado son:
1. Eliminar los corchetes y paréntesis.
2. Eliminar los denominadores: para ello se multiplican todos y cada uno de los términos de la
ecuación por el mínimo común múltiplo de los denominadores.
3. Trasponer términos: es decir, debemos presentar los términos en los que aparece la incógnita
en uno de los miembros de la igualdad, y los términos que no tienen incógnita en el otro
miembro de la igualdad. Para ello aplicamos la siguiente y conocida propiedad de las
igualdades: “Si se suma o se resta la misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, la
igualdad no varía.” Para entender este paso podemos aplicar la regla: “lo que está sumando
pasa al otro miembro restando, y lo que está restando pasa al otro miembro sumando” y lo
mismo ocurre con multiplicar y dividir. Esta regla no es así como tal, pero es de gran utilidad.
4. Reducir términos semejantes: Una vez realizada la trasposición de términos podremos sumar
y restar todos los términos de ambos miembros pues serán todos semejantes. De este modo
la ecuación aparecerá ya de la forma 𝑎𝑥 = 𝑏.
5. Despejar la incógnita: Una vez despejada la incógnita es conveniente simplificarla, caso de
que sea posible.
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Problema resuelto
3. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 2𝑥 − 4 + 5𝑥 − 3 + 6 = 7𝑥 + 1 − 2 − 4 + 4𝑥 − 5
Esta ecuación no tiene ni corchetes, ni paréntesis y además tampoco aparecen fracciones en ella.
Por tanto, nos podemos saltar los pasos 1 y 2, y comenzar directamente con el paso 3, es decir,
con la trasposición de términos. Para ello vamos a presentar los términos con la incógnita en el
primer miembro y los términos sin incógnita en el segundo,
2𝑥 − 4 + 5𝑥 − 3 + 6 = 7𝑥 + 1 − 2 − 4 + 4𝑥 − 5
2𝑥 + 5𝑥 − 7𝑥 − 4𝑥 = +1 − 2 − 4 − 5 + 4 + 3 − 6
Ahora reducimos/operamos términos semejantes y despejamos la incógnita:
−4𝑥 = −9 ⇒ 𝑥 =
𝑏)
−9
9
⇒𝑥=
−4
4
2 𝑥−1 1
2𝑥 − 3
2
𝑥−1
(
− )−5
= 𝑥 (1 − ) +
3
2
4
3
3
4
Eliminamos paréntesis:
2𝑥 − 2 2 10𝑥 − 15
2𝑥 𝑥 − 1
−
−
=𝑥−
+
6
12
3
3
4
Eliminamos los denominadores por el mínimo común múltiplo, que es 12 y ajustamos los
numeradores:
2(2𝑥 − 2) 1 ⋅ 2 4 ⋅ (10𝑥 − 15) 12𝑥 4 ⋅ 2𝑥 3 ⋅ (𝑥 − 1)
−
−
=
−
+
12
12
12
12
12
12
2(2𝑥 − 2) − 1 ⋅ 2 − 4 ⋅ (10𝑥 − 15) = 12𝑥 − 4 ⋅ 2𝑥 + 3(𝑥 − 1)
Eliminamos paréntesis:
4𝑥 − 4 − 2 − 40𝑥 + 60 = 12𝑥 − 8𝑥 + 3𝑥 − 3
Trasponemos términos, reducimos los semejantes y despejamos la incógnita:
4𝑥 − 40𝑥 − 12𝑥 + 8𝑥 − 3𝑥 = −3 + 4 + 2 − 60
−43𝑥 = −57 ⇒ 𝑥 =
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−57
57
⇒𝑥=
−43
43
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9.2. Ecuaciones de segundo grado.
Una ecuación de segundo grado es una igualdad del tipo
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Donde 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son números reales conocidos, a es distinta de cero. x es la incógnita como en la
ecuación de primer grado, mientras que 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 son los llamados coeficientes de la ecuación.
En este caso, el término independiente es cero.
Para resolver ecuaciones de segundo grado completas, es decir, que poseen todos los
coeficientes realizaremos los mismos pasos que para resolver una de primer grado solo que
finalmente cuando estén igualadas a cero, aplicaremos la fórmula de segundo grado,
𝑥=
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Problema resuelto
4. Resolver la ecuación
2(3𝑥 2 + 5𝑥) = 2 − 𝑥
Eliminamos paréntesis y trasponemos términos, en este caso todos al primer miembro,
6𝑥 2 + 10𝑥 = 2 − 𝑥 ⇒ 6𝑥 2 + 10𝑥 − 2 + 𝑥 = 0 ⇒ 6𝑥 2 + 11𝑥 − 2 = 0
Aplicamos la fórmula de segundo grado sabiendo que en este caso 𝑎 = 6, 𝑏 = 11 𝑦 𝑐 = −2
𝑥=
−11 ± √112 − 4 ⋅ 6 ⋅ (−2) −11 ± √121 + 48 −11 ± √169 −11 ± 13
=
=
=
2⋅6
12
12
12
−11 + 13
2
1
=
=
12
12 6
𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = {
−11 − 13 −24
𝑥2 =
=
= −2
12
12
𝑥1 =
Si las ecuaciones de segundo grado están incompletas (falta 𝑏 𝑦 𝑐), debemos diferenciar que
coeficiente es el que falta.
Caso 1: 𝑏 = 0, la ecuación pasa a ser de la forma
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0
Se resuelven como las ecuaciones de segundo grado salvo que el final que al despejar 𝑥 2 se
hace usando ±√
y deberemos tener en cuenta cuando es posible realizar la raíz y cuando no.
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Ejemplo:
3𝑥 2 − 24 = 0 ⇒ 3𝑥 2 = 24 ⇒ 𝑥 2 =
24
= 8 ⇒ 𝑥 2 = ±√8
3
Caso 2: 𝑐 = 0, la ecuación pasa a ser de la forma
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 0
El proceso de resolución consiste en extraer factor común la incógnita 𝑥, pues ésta aparece en
ambos términos. Una de las soluciones siempre es 𝑥 = 0. La otra solución se obtiene de igualar
a cero el otro factor y de resolver la correspondiente ecuación de primer grado.
Ejemplo:
𝑥=0
18
3𝑥 2 − 18𝑥 = 0 ⇒ 𝑥(3𝑥 − 18) = 0 ⇒ {
3𝑥 − 18 = 0 ⇒ 3𝑥 = 18 ⇒ 𝑥 =
=6
3
9.3. Ecuaciones de tercer grado o superior.
Una ecuación de tercer grado es una igualdad del tipo
𝑎𝑥 3 + 𝑏𝑥 2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 0
Si es de mayor grado se expresa tal que,
𝑎𝑛 𝑥 𝑛 + 𝑎𝑛 𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑎0 = 0
Para resolver estas ecuaciones usaremos la regla de Ruffini, véase el siguiente ejercicio resuelto.
Problema resuelto
5. Resolver la ecuación 𝑥 3 − 3𝑥 + 2 = 0
En primer lugar, necesitamos los divisores del término independiente (el que no posee x), serían
±1 𝑦 ± 2. Apliquemos Ruffini:
1
+1
0
-3
2
1
1
-2
1 1
-2
0
𝑥 = 1 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛
Como para 𝑥 = 1 nos ha salido cero de resto, tenemos una solución. Cogemos la ecuación
obtenida y la resolvemos con la fórmula de segundo grado para obtener las otras dos soluciones
que faltarían. En este caso 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 𝑦 𝑐 = −2 dando x = 1 y x = -2
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10. Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas:
Si unimos dos ecuaciones lineales con dos incógnitas lo que tenemos es un sistema formado por
esas dos ecuaciones, es decir,
{
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
10.1. Tipos de sistemas.
El sistema anterior, atendiendo a su número de soluciones puede ser:
-
Sistema compatible determinado: una única solución. Tendremos dicho sistema cuando
al resolver obtengamos un solo valor para cada incógnita.
Sistema compatible indeterminado: infinitas soluciones. Tendremos dicho sistema
cuando en el proceso de resolución, en algún momento obtengamos 0=0.
Sistema incompatible: sin solución. Tendremos dicho sistema cuando en el proceso de
resolución, en algún momento obtengamos 0 = número.
Esto se relaciona a posteriori con las matrices y las posiciones relativas de las rectas en geometría.
10.2. Métodos de resolución.
10.2.1. Método de sustitución.
Consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones y posteriormente sustituir su
valor en la otra ecuación. Entonces queda una ecuación de primer grado
Problema resuelto
6. Resolver por sustitución el siguiente sistema:
{
3𝑥 − 4𝑦 = 5
−2𝑥 − 𝑦 = −7
Elegimos despejar la incógnita x de la segunda ecuación:
−7 + 𝑦
−2
Cuando un denominador aparece negativo es conveniente pasar el signo menos del denominador
al numerador.
−2𝑥 − 𝑦 = −7 ⇒ −2𝑥 = −7 + 𝑦 ⇒ 𝑥 =
−7 + 𝑦
−(−7 + 𝑦)
7−𝑦
⇒𝑥=
⇒𝑥=
−2
2
2
Ahora sustituimos este valor en la primera ecuación y despejamos la incógnita y:
𝑥=
3(
7−𝑦
21 − 3𝑦
−11
) − 4𝑦 = 5 ⇒
− 4𝑦 = 5 ⇒ 21 − 3𝑦 − 8𝑦 = 10 ⇒ 𝑦 =
=1
2
2
−11
Este valor se sustituye en la expresión para obtener la incógnita x:
𝑥=
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7−𝑦 7−1
=
=3
2
2
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10.2.2. Método de igualación.
Consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones e igualar ambas expresiones.
Vuelve a presentarse entonces una ecuación de primer grado de la que despejaremos una de
las incógnitas.
Problema resuelto
7. Resolver por igualación el siguiente sistema:
{
3𝑥 − 4𝑦 = 5
−2𝑥 − 𝑦 = −7
Elegimos despejar la incógnita y, debemos hacerlo en ambas ecuaciones:
3𝑥 − 4𝑦 = 5 ⇒ −4𝑦 = 5 − 3𝑥 ⇒ 𝑦 =
5 − 3𝑥 −(5 − 3𝑥)
−5 + 3𝑥
=
⇒𝑦=
−4
4
4
−2𝑥 − 𝑦 = −7 ⇒ −𝑦 = −7 + 2𝑥 ⇒ 𝑦 =
Igualamos ambas expresiones, 𝑦 =
7 − 2𝑥 =
−5+3𝑥
4
−7 + 2𝑥
⇒ 𝑦 = 7 − 2𝑥
−1
, 𝑦 = 7 − 2𝑥
−5 + 3𝑥
⇒ 4(7 − 2𝑥) = −5 + 3𝑥 ⇒ 28 − 8𝑥 = −5 + 3𝑥
4
⇒ −8𝑥 − 3𝑥 = −5 − 28 ⇒ −11𝑥 = −33 ⇒ 𝑥 =
−33
=3
−11
Sustituyendo por ejemplo en 𝑦 = 7 − 2𝑥 tenemos el valor de la otra incógnita,
𝑦 = 7 − 2(3) =1
10.2.3. Método de reducción.
Este método consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones por números adecuados para
transformar el sistema en otro equivalente de tal forma que, al sumar o restar las dos ecuaciones
de este último, una de las dos incógnitas desaparezca. De este modo podremos despejar
fácilmente la otra.
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Problema resuelto
8. Resolver por reducción el siguiente sistema:
{
3𝑥 − 4𝑦 = 5
−2𝑥 − 𝑦 = −7
Elegimos eliminar la incógnita x, para ello multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda
por 3.
{
2 ⋅ (3𝑥 − 4𝑦 = 5)
6𝑥 − 8𝑦 = 10
⇒{
−6𝑥 − 3𝑦 = −21
3 ⋅ (−2𝑥 − 𝑦 = −7)
Sumando ambas ecuaciones término a término tenemos:
+{
6𝑥 − 8𝑦 = 10
−6𝑥 − 3𝑦 = −21
0𝑥 − 11𝑦 = −11 ⇒ 𝑦 =
−11
=1
−11
Ahora sustituimos el valor de 𝑦 en cualquier ecuación para obtener el valor de x,
3𝑥 − 4𝑦 = 5 ⇒ 3𝑥 − 4(1) = 5 ⇒ 3𝑥 = 5 + 4 = 9 ⇒ 𝑥 =
9
=3
3
10.3. Resolución de problemas usando sistemas de ecuaciones lineales.
En primer lugar, debemos plantear el sistema atendiendo a los datos proporcionados por un
enunciado y a continuación resolverlo por alguno de los métodos planteados anteriormente.
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Problema resuelto
9. Un padre tiene el doble de edad que su hijo. Hace 17 años, tenía el triple. Hallar la edad de
ambos.
Solución
Llamemos x a la edad del padre e y a la edad del hijo. Como el padre tiene el doble de la edad
que el hijo tenemos que 𝑥 = 2𝑦. Por otro lado, hace 17 años el padre tenía 𝑥 − 17 años y el hijo
tenía 𝑦 − 17 años. En aquel momento la edad del padre era el triple que la del hijo, es decir:
𝑥 − 17 = 3(𝑦 − 17).
Si unimos ambas cosas tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑥 = 2𝑦
{
𝑥 − 17 = 3(𝑦 − 17)
Resolvemos por sustitución que está despejada x en la primera ecuación, directamente
sustituimos en la segunda ecuación el valor de 𝑥 = 2𝑦,
𝑥 − 17 = 3(𝑦 − 17) ⇒ 2𝑦 − 17 = 3(𝑦 − 17) ⇒ 2𝑦 − 17 = 3𝑦 − 51
⇒ 2𝑦 − 3𝑦 = −51 + 17 ⇒ −𝑦 = −34 ⇒ 𝑦 = 34
Como 𝑦 = 34 sustituimos en 𝑥 = 2𝑦 dicho valor y obtenemos la edad del padre,
𝑥 = 2 ⋅ 34 = 68
Por tanto, el hijo tiene 34 años y el padre 68.
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