Ma’ruza
“FAZODA TO`G`RI
CHIZIQ VA UNING TURLI
KO`RINISHDAGI
TENGLAMALARI.
1. FAZODAGI TO‘G‘RI CHIZIQ.
Agar berilgan 1 : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 va  2 : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 tekisliklar
parallel bo‘lmasa, u holda ular to‘g‘ri chiziq bo‘ylab kesishadi. Shu sababli,
fazodagi to‘g‘ri chiziqni ikki tekislikning kesishish chizig‘i sifatida qaraymiz.
Demak, fazoda to‘g‘ri chiziq quyidagi tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0

 A2 x  B2 y  C 2 z  D2  0
(1)
(1) to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi deyiladi. Agar 1 va 2 tekisliklar
parallel bo‘lsa, (1) to‘g‘ri chiziqni ifodalamaydi. Demak, berilgan tenglamalar
sistemasi to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasi ekanligini
aniqlash uchun
noma’lumlar oldidagi mos koeffitsiyentlarni proporsional emasligini tekshirish
kerak ekan.
Bir to‘g‘ri chiziq bo‘ylab cheksiz ko‘p tekisliklar kesishadi. Bunday tekisliklarni
tekisliklar dastasi deymiz. Agar shu dastaga tegishli ikkita tekislikning tenglamasi
ma’lum bo‘lsa, shu dastaning boshqa tekisligini tenglamasi
  A1 x  B1 y  C1 z  D1     A2 x  B2 y  C2 z  D2  0  0
(2)
bo‘ladi.
Bunga ishonch hosil qilish uchun, avval (2) tenglama tekislik tenglamasi
ekanligini tekshiraylik. Buning uchun, (2) ni quyidagi ko‘rinishda yozib olamiz:
 A1  A2   x   B1   B2  y   C1   C2  z   D1   D2   0
Agar bir vaqtda  A1   A2  0,  B1   B2  0,  C1   C2  0 bo‘lsa, u holda
A1 B1 C1 



A2 B2 C 2 
bo‘ladi. Bu esa dastlabki farazga zid, chunki bu holda 1 va 2 tekisliklar parallel
bo‘ladi va ular to‘g‘ri chiziqni ifodalamaydi. Bu ziddiyat (2) tenglama ekanligini
ko‘rsatadi. Bu tenglama 1-darajali tenglama bo‘lgani uchun y tekislikni ifodalaydi.
Agar  ,  larning biri, masalan   0 bo‘lsa, u holda (2)ni quyidagi ko‘rinishga
keltirish mumkin:
 A1 x  B1 y  C1 z  D1    A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
2. To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasi. Bizga fazoda to‘g‘ri chiziqning

biror M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) nuqtasi va unga parallel bo‘lgan a  l , m, n vektor berilgan
bo‘lsin. Faraz qilaylik, M (x, y, z) to‘g‘ri chiziqning siljuvchi nuqtasi bo‘lsin. U

holda a va M 0 M vektorlar parallel bo‘ladi. Vektorlarning kolleniarlik shartiga
ko‘ra
x  x0 y  y 0 z  z 0


l
m
n
(3)

kelib chiqadi. a vektor M nuqtaning to‘g‘ri chiziqda bo‘lishini ta’minlangani
uchun uni to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori deb atashadi. (3) ni to‘g‘ri
chiziqning kanonik tenglamasi deb ataymiz. Agar to‘g‘ri chiziq umumiy
tenglamasi bilan berilgan bo‘lsa, uning bu tenglamasini kanonik ko‘rinishga
keltirsa bo‘ladi. Haqiqatan, bizga (2) berilgan bo‘lsin. Bu sistemani aniqlaydigan
tekisliklarni mos ravishda 1 va  1 deb belgilaylik. Ularning normal vektorlari


n1  A1 , B1 , C1  va n2  A2 , B2 , C2  bo‘ladi. To‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini
tuzish uchun: 1) uning biror M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) nuqtasini bilish kerak; bu nuqtani topish
uchun (2)dagi noma’lumlardan biriga qiymat berib, masalan z  z 0 deb, (2)
sistemani x va y larga nisbatan yechib, x  x0 , y  y0 larni topamiz;
2) to‘g‘ri

chiziqning yo‘naltiruvchi a  1, m, n vektorini topish kerak; qaralayotgan to‘g‘ri


chiziq ikki tekislikning kesishish chizig‘i bo‘lgani uchun, u n1 va n 2 vektorlarga



perpendikulyar bo‘ladi. Shuning uchun, a vektor sifatida n1 va n 2 vektorlarga
perpendikulyar bo‘lgan ixtiyoriy vektorni, shu jumladan, ularning vektor
 

ko‘paytmasini olish mumkin, ya’ni a  n1  n2 .
Misol. Berilgan to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamasini tuzing:
3 x  2 y  4 z 11  0

2 x  y  3 z  1  0
Yechish. Agar x0 1 desak, sistemadan y0  2, z 0 1 kelib chiqadi, demak,
M 0 1, 2, 1
ekan.
Endi
yo‘naltiruvchi
vektorni
topamiz.
Sistemadan


n1  3, 2, 4, n2  2, 1,  3larni aniqlaymiz.
  
U holda a  n1  n2   10, 17,  1 bo‘ladi, bundan l  10, m 17, n  1 lar
topiladi. Bularni (3)_ ga olib borib qo‘ysak:
x 1 y  2 z 1


 10 17
1
Agar (3) dagi nisbatlarni t ga tenglasak:
x  x0 y  y 0 z  z 0


t
l
m
n
bundan
 x  x0  l t ,

 y  y0  m t,
 z  z  nt
0

kelib chiqadi. (4) ni to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi deb atashadi, t bu
yerda parametr rolini o‘ynaydi. To‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasi odatda
to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasini topish masalasida ishlatiladi.
Misol.
x 2 y 3 z 4


1
1
2
to‘g‘ri chiziq bilan 2 x  y  z  6  0 tekislikning
kesishish nuqtasini toping.
Yechish. Avval to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamasini tuzib olamiz:
x  2  t, y  3  t, z  4  2 t
Endi bularni tekislik tenglamasiga olib borib qo‘yamiz:
2 2  t   3  t   4  2 t   6  0
Bundan
t=-1
topiladi,
x 1, y  2, z  2 larni topamiz.
bu
qiymatni
parametrik
tenglamasiga
qo‘yib
3. To‘g‘ri chiziqga doir ayrim masalalar.
Faraz qilaylik, to‘g‘ri chiziqning ikki
M 1 x1 , y1 , z1 , M 2 x2 , y2 , z 2  nuqtasi

berilgan bo‘lsin. Bu to‘g‘ri chiziqning yo‘naltiruvchi vektori sifatida a  M 1 M 2
vektorni olish mumkin. Agar M(x, y, z) nuqta to‘g‘ri chiziqning siljuvchi nuqtasi

bo‘lsa, u holda, M 1 M va a vektorlar parallel bo‘ladi. Berilgan koordinatalarga
ko‘ra,
M 1 M  x  x1 , y  y1 , z  z1 

a  x 2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1 
Vektorlarning kolleniarlik shartiga ko‘ra:
x  x1
y  y1
z  z1


x 2  x1 y 2  y1 z 2  z1
(5)
Oxirgi tenglik ikki nuqtadan o‘tgan to‘g‘ri chiziq tenglamasi deb ataladi.
a) Endi faraz qilaylik, bizga
x  x1 y  y1 z  z1
x  x2 y  y 2 z  z 2
va




l1
m1
n1
l2
m2
n2
to‘g‘ri chiziqlar berilgan bo‘lsin. Ular orasidagi burchak ularning yo‘naltiruvchi


vektorlari a1  l1 , m1 , n1, a2  l2 , m2 , n2  orasidagi burchakga teng. Shu sababli,
 
a1  a 2
l1 l 2  m1 m2  n1 n2
cos     
a1  a 2
l12  m12  n12  l 22  m22  n22
(6)
bo‘ladi.

b) Agar to‘g‘ri chiziqlar perpendikulyar bo‘lsa, u holda   , cos   0 ,
2
shu
sababli,
l1 l 2  m1m2  n1n2  0
(7)
bo‘ladi. Bu tenglikni to‘g‘ri chiziqlarning perpendikulyarlik sharti deb ataymiz.
 
v) Agar to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lsa, a1 , a2 larning kolleniarlik shartidan
l1 m1 n1


l 2 m2 n2
(8)
kelib chiqadi. Bu tenglik to‘g‘ri chiziqlarning parallellik sharti deb ataladi.
x  x0 y  y 0 z  z 0
to‘g‘ri chiziq va


l
m
n
4. To‘g‘ri chiziq va tekislik. Bizga
A x  B y  C z  D  0 tekislik berilgan bo‘lsin.
N

S
M1
N

Chizmadan ko‘rinadiki, to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak  va
yo‘naltiruvchi vektor bilan tekislikning normal vektori orasidagi burchak  lar



2
2
2
yig‘indisi     , bundan     yoki  
  . Shu sababli,  ni topsak
kifoya. Demak,
cos   cos  
Al  B m  C n
A  B C  l m n
2
2
2
2
2
2
(9)
Agar to‘g‘ri chiziq tekislikka parallel bo‘lsa, u holda yo‘naltiruvchi vektor
normalga perpendikulyar bo‘ladi, shuning uchun
Al  B m  C n  0
(10)
bo‘ladi. Bu tenglik to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning parallellik sharti deyiladi.
Agar to‘g‘ri chiziq bilan tekislik perpendikulyar bo‘lsa, u holda yo‘naltiruvchi
vektor bilan normal vektor parallel bo‘ladi. U holda to‘g‘ri chiziq bilan
tekislikning perpendikulyarlik sharti
A B C
 
l m n
bo‘ladi.
(11)