Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ
ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΧΙΟΣ, 2020
1
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ
ΣΥΝΟΨΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
2
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ
ΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ
ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ
Αριθμητικός Μέσος
n
X
X
i 1
k
f m
i
X
n
i 1
i
i
n
κ
X  m0  δ
f ξ
i 1
i
i
n
Διάμεσος

Αν n περιττός
Μ: Η τιμή της παρατήρησης στη θέση
n 1
δηλαδή η
2





X

 n+1 

2 

M=LM
n

 -FΜ-1 
2

+δ 
fΜ
Αν n άρτιος


M= 1  X n +1+X n 

2  2
2
Επικρατούσα Τιμή
T0  LT0  δ
Δ1
Δ1  Δ 2
3
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΘΕΣΗΣ
i – Τεταρτημόριο
Qi : Η τιμή στη θέση
i(n  1)
4
δηλαδή η


X

 i(n+1) 

4 

Qi =LQ



Q
fQ
i

Qi =X i n+1 =X A +ΔQ  X A


i
 ni

 -FQ -1 
 4
i 

+δ 
-X A 
Q +1
Q


4
Όπου
ΑQ: Το ακέραιο μέρος του πηλίκου
ΔQ: Το δεκαδικό μέρος του πηλίκου
i(n  1)
4
i(n  1)
4
i – Δεκατημόριο
Di : Η τιμή στη θέση
i(n  1)
10
δηλαδή η


X

 i(n+1) 

10 

Di =LD

Di  X i n 1  X AD  Δ D X AD 1  X AD
i
 ni

-F 

 10 D i -1 

+δ 
fD
i

10
Όπου
i(n  1)
10
i(n  1)
μέρος του πηλίκου
10
ΑD: Το ακέραιο μέρος του πηλίκου
ΔD: Το δεκαδικό
4
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
i – Ποσοστιαίο Σημείο
Pi : Η τιμή στη θέση
i(n  1)
100
δηλαδή η


X

 i(n+1) 

100 

Pi =LP

Pi  X i n 1  X AP  Δ P X AP 1  X AP
i
 ni

-F 

 100 P i -1 

+δ 
fP
i

100
Όπου
i(n  1)
100
i(n  1)
μέρος του πηλίκου
100
ΑP: Το ακέραιο μέρος του πηλίκου
ΔP: Το δεκαδικό
ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Εύρος
R  Xmax  Xmin
Ενδοτεταρτημοριακό Εύρος
Q3  Q1
Q3  Q1
Τεταρτημοριακή Απόκλιση
Q
Q3  Q1
2
Q
Q3  Q1
2
5
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
Διακύμανση

n
S2 
i 1
Xi  X

S2
n 1
2
 n

X   Xi 

S2  i 1
  i 1 
n  1  n  1 n
n
2
i
n
S2 
X
i 1
2
i
 f m
k
2
i
X

2
n 1
 k

f i m   f i mi 


S2  i 1
  i 1
n 1
 n  1 n
k
2
2
i
k
 nX 2
n 1
i 1
i
S2 
S2
f m
i 1
i
2
i
 nX 2
n 1
2
 k

 k
2
2
  fi ξ1   fi ξ1  

 
 δ 2  i 1
  i 1

 n  1 n 
 n 1




Τυπική Απόκλιση
s   s2
s   s2
ΜΕΤΡΑ ΣΧΕΤΙΚΗΣ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Συντελεστής Μεταβλητότητας
C
s
*100
X
C
s
*100
X
6
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΜΕΤΡΑ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ
Sp 
Sp 
SB 
X  T0
s
Sp 

3 XM

Sp 
s
 Q3  M    M  Q1 
Q3  Q1
SB 
X  T0
s

3 XM

s
 Q3  M    M  Q1 
Q3  Q1
ΜΕΤΡΑ ΚΥΡΤΩΣΗΣ
Q3  Q1
2
k
P90  P10
Q3  Q1
2
k
P90  P10
X
n
β2 
μ4

s4
i 1
i X
n
s4

 f m
k
4
β2 
μ4

s4
i 1
i
i X

4
n
s4
7
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΜΕΤΡΑ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗΣ
Συντελεστής Gini
g
d
2X
g
όπου:
όπου:
d
 | d
i
d
2X
j
n2
ij
|
d
2δ k
  n  φi  φi
n 2 i 1
Φi η δεξιόστροφη αθροιστική
συχνότητα της i τάξης
8
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
9
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
Δεσμευμένη Πιθανότητα
PA1 A 2  
PA1  A 2 
, PA 2   0
PA 2 
PA 2 A1  
PA1  A 2 
, PA1   0
PA1 
Θεώρημα της Ολικής Πιθανότητας
n
P  E    P  Ai  P  E Ai 
i 1
Θεώρημα του Bayes
P  Ak E  
P  Ak  P  E Ak 
n
 P A  P E A 
i 1
i

P Ak  P E Ak 
P E
i
ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ
Μεταθέσεις
Επαναληπτικές Μεταθέσεις
Pn  n!
n!
n1 ! n 2 !...n k !
Διατάξεις
Επαναληπτικές Διατάξεις
P  P  n, x  
n x
n!
 n  x !
nx
Συνδυασμοί
C  C  n, x  
n x
n!
x! n  x !
10
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
ΔΙΑΚΡΙΤΗ
τυχαία μεταβλητή
ΣΥΝΕΧΗΣ
τυχαία μεταβλητή
Μέτρα Κεντρικής Τάσης
Μέση Τιμή
E(X)   
E(X)   


  x i P(x i ),


i 1
xf (x)dx,
E(X)
E(X)
Μέτρα Διασποράς
Διακύμανση
V(X)  2  E  X  E(X) 
2
 E(X  ) 2
n
  x i2 P(x i )   2
i 1
Τυπική Απόκλιση
  V(X)
V(X)  2  E  X  E(X) 
2
 E(X  ) 2
b
  x 2 f (x)dx   2
a
  V(X)
11
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
12
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Διωνυμική Κατανομή [Χ  Β(n, p)]
n
n!
P(X  k)    p k q n k 
pk q n k ,
k!(n  k)!
k
k  0,1, 2,..., n n  1, 2,... 0  p  1 q  1  p
E(X)  np
V(X)  npq
Κατανομή Poisson [Χ  P(λ)]
e λ λk
P(X  k) 
, k  0, 1, 2, ... λ  0
k!
Ε(Χ) = λ
V(Χ) = λ
ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
Κανονική Κατανομή [Χ  Ν(μ, σ2)]
1  x μ 

σ 
 
1
f (x) 
e 2
σ 2π
2
,    x  
όπου π = 3.1416 & e = 2.7183
-  < μ < + , σ > 0
Ε(Χ) = μ
V(Χ) = σ2
Τυποποιημένη Κανονική Κατανομή [ Ζ 
f (z) 
1  12 z2
e ,   z  
2
Ε(Χ) = 0
E(X) 
Χμ
 Ν(0, 1)]
σ
V(Χ) = 1.

 
V(X) 

.
(  ) (    1)
2
13
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ
14
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ
100 (1-α)% ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΕΣΟΥΣ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ
ΑΡΧΗ
Υπόθεσε
Κανονικότητα
σ2
γνωστή;
NAI
Το
n
μεγάλο
;
NAI
X  Z 1 a / 2

n
OXI
Το
n
μεγάλο
;
NAI
X  Z 1 a / 2
s
n
OXI
Υπόθεσε
Κανονικότητα
X  t ,1 / 2
s
n
  n 1
15
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
100 (1-α)% ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΑΦΟΡΑ ΤΩΝ ΜΕΣΩΝ
ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ
Υπόθεσε
Κανονικότητα
ΑΡΧΗ
ΟΧΙ
Δεδομένα
με μορφή
ζευγών
ΝΑΙ
ΝΑΙ
Το
n
μεγάλο;
X1 - X 2 ± t ν,1-α/2 s D / n
ν = n -1
Υπόθεσε
Κανονικότητα
ΟΧΙ
σ12 & σ 22
γνωστές
;
Τα
n1&n2
μεγάλα;
ΝΑΙ
ΝΑΙ
X1  X 2  Z1-α/2 σ12 / n1   22 / n2
X1  X 2  t ν,1α/2 s p 1 n1  1 n2
ΟΧΙ
  n1  n2  2
Υπόθεσε
Κανονικότητα
s 2p 
ΟΧΙ
 12 & σ 22
ίσες;
`
Τα
n1&n2
μεγάλα;
ΝΑΙ
n1  1s12  n2  1s 22
n1  n2  2
X 1  X 2  Z 1 a / 2 s p 1 n1  1 n2
ΝΑΙ
s 2p 
n1  1s12  n2  1s 22
n1  n2  2
ΟΧΙ
Τα
n1&n2
μεγάλα;
ΟΧΙ
Υπόθεσε
Κανονικότητα
ΝΑΙ
X1  X 2  Z1-α/2 s12 / n1  s 22 / n2
X1  X 2  t ν,1-α/2
ν
s
2
1
s
2
1
s12 / n1  s22 / n2
/ n1  s22 / n2 
/ n1 
s1  1
2
s

2
2
2
/ n2 
2
s2 1
16
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ
17
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΜΕΣΟΥΣ
ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ
ΑΡΧΗ
Υπόθεσε
κανονικότητα
Η0: μ=μ0
Στατιστική
ΟΧΙ
Συνάρτηση
σ2
Ελέγχου
Το
ΝΑΙ
γνωστή;
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 <- Ζ 1- α
n
μεγάλο;
Z0 
ΝΑΙ
Η1: μ < μ0
x  0
/ n
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0>Ζ 1-α/2
Z0 ~ N  0, 1
ΟΧΙ
ή Ζ0 < -Ζ 1- α/2
Η1: μ  μ0
Η0: μ=μ0
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 > Ζ1- α
Στατιστική
ΝΑΙ
Το
n
μεγάλο
;
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 > Ζ1- α
Η1: μ > μ0
Συνάρτηση Ελέγχου
Η1: μ > μ0
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 <- Ζ 1- α
Z0 
x  0
s/ n
Z0 ~ N  0, 1
ΟΧΙ
Η1: μ < μ0
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0>Ζ 1- α/2
Η1: μ  μ0
Η0: μ=μ0
Στατιστική
Συνάρτηση Ελέγχου
Υπόθεσε
Κανονικότητα
ή Ζ0 < -Ζ 1- α/2
T0 
x  0
s/ n
Απόρριψε την Η0 αν T0 > tv, 1- α
Η1: μ > μ0
Απόρριψε την Η0 αν T0 < -tv,1- α
Η1: μ < μ0
Απόρριψε την Η0 αν T0>tv, 1 - α/2
T0 ~ tv
v= n-1
Η1: μ  μ0
ή T0 < -tv, 1- α/2
18
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΤυπολόγιο
ΔΙΑΦΟΡΑ ΜΕΣΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ
ΑΡΧΗ
H0 : μD = 0
Υπόθεσε
Κανονικότητα
Στατιστική Συνάρ. Ελέγχου
ΟΧΙ
ΝΑΙ
Δεδομένα
με μορφή
ζευγών;
Τ0 =
ΝΑΙ
ΝΑΙ
Το
n
μεγάλο
ΝΑΙ
D
SD
Απόρριψε την Η0 αν Τ0 > tν, 1-α
H1 : μD > 0
Απόρριψε την Η0 αν Τ0 <- tν, 1-α
n
H1 : μD < 0
T0 ~ t ν
Απόρριψε την Η0 αν Τ0>tν, 1-α/2
ή Τ0 <- tν, 1-α/2
ν=n-1
;
H1 : μD  0
H0 : μ1–μ2= 0
ΟΧΙ
Υπόθεσε
Κανονικότητα
Στατιστική Συνάρ. Ελέγχου
ΟΧΙ


2
1 &
2
2
γνωστές;
ΝΑΙ
Τα
n1&n2
μεγάλα
ΝΑΙ
Ζ0 =
(X1 - X 2 )
σ n1 + σ / n 2
2
1
2
2
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 > Ζ 1-α
H1 : μ1 –μ2 > 0
H1 : μ1 –μ2 < 0
Ζ0 ~ Ν(0,1)
;
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 <- Ζ 1-α
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0> Ζ 1-α/2
ή Ζ0 <- Ζ 1-α/2
H1 : μ01–μ2  0
H0 : μ1–μ2= 0
ΟΧΙ
Στατιστική Συνάρ. Ελέγχου
Υπόθεσε
Κανονικότητα
T0 =
(X1 - X 2 )
SP 1 n1 + 1/ n 2
Απόρριψε την Η0 αν Τ0 > tν, 1-α
H1 : μ1 –μ2 > 0
H1 : μ1 –μ2 < 0
T0 ~ t ν
ν = n1 + n 2 - 2
(n - 1)S12 + (n 2 - 1)S22
S2P = 1
n1 + n 2 - 2
Απόρριψε την Η0 αν Τ0 <- tν, 1-α
Απόρριψε την Η0 αν Τ0>tν, 1-α/2
ή Τ0 <- tν, 1-α/2
H1 : μ1 –μ2  0
19
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
H0 : μ1–μ2= 0
ΟΧΙ
Στατιστική Συνάρ. Ελέγχου


2
1 &
2
2
Τα
n1&n2
μεγάλα
ΝΑΙ
ίσες;
ΝΑΙ
Ζ0 =
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 > Ζ 1-α
H1 : μ1 –μ2 > 0
(X1 - X 2 )
SP 1 n1 + 1/ n 2
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 <- Ζ 1-α
Ζ0 ~ Ν(0,1)
;
S2P =
H1 : μ1–μ2 < 0
2
1
(n1 - 1)S + (n 2 - 1)S
n1 + n 2 - 2
2
2
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0> Ζ 1-α/2
ή Ζ0 <- Ζ 1-α/2
H1 : μ1 –μ2  0
ΟΧΙ
H0 : μ1–μ2= 0
ΝΑΙ
Τα
n1&n2
μεγάλα;
Στατιστική Συνάρ. Ελέγχου
Ζ0 =
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 > Ζ 1-α
H1 : μ1 –μ2 > 0
(X1 - X 2 )
S12 n1 + S22 / n 2
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0 <- Ζ 1-α
Ζ0 ~ Ν(0,1)
H1 : μ1 –μ2 < 0
Απόρριψε την Η0 αν Ζ0> Ζ 1-α/2
ή Ζ0 <- Ζ 1-α/2
ΟΧΙ
H1 : μ1 –μ2  0
H0 : μ1–μ2= 0
Στατιστική Συνάρ. Ελέγχου
Απόρριψε την Η0 αν Τ0 > tν, 1-α
Τ0 =
H1 : μ1 –μ2 > 0
(X1 - X 2 )
2
1
S n1 + S22 / n 2
Απόρριψε την Η0 αν Τ0 <- tν, 1-α
T0 ~ t ν
Υπόθεσε
Κανονικότητα
ν
H1 : μ1 –μ2 < 0
2
1
2
2
2
(S / n1 + S / n 2 )
(S12 / n1 ) 2 (S22 / n 2 ) 2
+
n1 - 1
n 2 -1
Απόρριψε την Η0 αν Τ0>tν, 1-α/2
ή Τ0 <- tν, 1-α/2
H1 : μ1 –μ2  0
20
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ
21
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ
Πίνακας Ανάλυσης Διακύμανσης
Αθροίσματ
Βαθμοί
α
Ελευθερία
Τετραγώνω
ς
ν
SS
DF
Πηγή
Μεταβλητότ
ητας
Μεταξύ
αγωγών
SSTr
Μέσα
Τετραγωνικά
Σφάλματα
F
(κάτω από την
Η0)
MS
k-1
MSTr=SSTr/k-1
Fο=MSTr/MSE
Εντός των
αγωγών
(σφάλμα)
SSE
n-k
Σύνολο
SST
n-1
MSE=SSE/n-k
ni
Yi.   Yij
j1
k
k
ni
Y..   Yi.   Yij
i 1
i 1 j1
Yi. = Yi. / n i
k
Y..  Y../ n 
n
 Y
i 1 j1
ij
n
SST=SSTr + SSE
ni
k




k
ni
SST   Yij  Y..   Yij2 
i 1 j1
k
2
i 1 j1
k
SSTr   n i Y i.  Y..  
i 1
2
i 1
Y..2
n
Yi.2 Y..2

ni
n
22
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
k
ni

SSE   Yij  Yi.
i 1 j1
MSTr =
MSE =
Τυπολόγιο

2
Yi.2
  Y  
i 1 j1
i 1 n i
k
ni
k
2
ij
SSTr
k -1
SSE
n-k
Έλεγχος της υπόθεσης ότι όλες οι αγωγές ασκούν την ίδια επίδραση:
Η0: Όλοι οι μέσοι είναι ίσοι (μ1. =μ2.= … =μκ.)
Η1: Δύο τουλάχιστον μέσοι διαφέρουν ( μi.  μ j. , για i  j , i,j=1,2,…,k)
Συνάρτηση Ελέγχου: Fo 
MSTr
~ Fk 1,n k
MSE
Κριτήριο Ελέγχου: Απορρίπτουμε την Η0 αν: Fo > Fk-1, n-k, 1-α
ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΕΣ
Ανάλυση Διακύμανσης κατά δύο Παράγοντες με μία παρατήρηση ανά κυψελίδα
Πίνακας Ανάλυσης Διακύμανσης κατά Δύο Παράγοντες
με Μια Παρατήρηση ανά Κυψελίδα
Πηγή
Μεταβλητότητας
Μεταξύ Αγωγών
Μεταξύ Blocks
SS
DF
MS
F (κάτω από την Η0)
SSTr
SSBl
SSTr/(k-1)=MSTr
SSBl/(b-1)=MSBl
MSTr/MSE=FTr
MSBl/MSE=FBl
Σφάλμα
SSE
Σύνολο
SST
k-1
b-1
kb-(k+b-1) =
= (b-1)(k-1)
kb-1
SSE/(b-1)(k-1)=MSE
23
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
b
k
Yi.   Yir
Y.r   Yir
Yi. = Yi. / b
Y.r  Y.r / k
r 1
i 1
b
k
r 1
i 1
k
b
Y..   Y.r   Yi.   Yir
i 1 r 1
Y.. = Y.. / kb
SST = SSTr + SSBl + SSE
k
b


k
b
SST   Yir  Y..   Yir2 
i 1 r 1
k
2
i 1 r 1




b
k
(Y..)2
kb


SSTr   Yir  Y..  b Yi.  Y.. 
i 1 r 1
k
b
2
i 1
2
Y 
b
SSBl   Yir  Y..  k  (Y ir  Y..) 2 
i 1 r 1
2
b
SSE   Y
i 1 r 1
MSTr =
SSTr
k -1
MSBl 
SSBl
b 1
MSE =
2
ir
  Y    Y   Y..



b
 (Y )
.r
r
k

(Y..)2
kb

(Y..) 2
kb
2
2
i.
i
i
r 1
2
k
2
i.
.r
2
r
b
k
kb
SSE
(k - 1)(b - 1)
24
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
Έλεγχος της υπόθεσης ότι όλες οι αγωγές ασκούν την ίδια επίδραση:
Η0: Όλοι οι μέσοι είναι ίσοι (μ1.=μ2.= … =μκ.)
Η1: Δύο τουλάχιστον από τους μέσους διαφέρουν ( μi.  μ j. , για i  j ,
i,j=1,2,…,k)
Fo 
Συνάρτηση Ελέγχου:
MSTr
~ Fk 1,(b 1)(k 1)
MSE
Κριτήριο Ελέγχου: Απορρίπτουμε την Η0 αν: Fο > Fk-1, (b-1)(k-1), 1-α
Έλεγχος της υπόθεσης ότι όλα τα blocks ακούν την ίδια επίδραση:
Η0: Όλοι οι μέσοι είναι ίσοι (μ.1 =μ.2= … μ.κ)
Η1: Δύο τουλάχιστον από τους μέσους διαφέρουν ( μ.i  μ.j , για
Συνάρτηση Ελέγχου: Fo 
i  j , i,j=1,2,…,k)
MSBl
~ Fb 1,(b 1)(k 1)
MSE
Κριτήριο Ελέγχου: Απορρίπτουμε την Η0 αν: F0 > Fb-1, (b-1)(k-1), 1-α
Ανάλυση Διακύμανσης κατά δύο Παράγοντες με m παρατηρήσεις ανά κυψελίδα
Πίνακας Ανάλυσης Διακύμανσης
κατά δύο Παράγοντες με m Παρατηρήσεις ανά Κυψελίδα
Πηγή
Μεταξύ Αγωγών
Μεταξύ Blocks
Αλληλοεπίδραση
Σφάλμα
Σύνολο
DF
k-1
b-1
(k-1)(b-1)
kb(m-1)
kbm - 1
k
b
m

SS
SSTr
SSBl
SSI
SSE
SST

k
b
MS
MSTr=SSTr/k-1
MSBl=SSBl/b-1
MSI=SSI/(k-1)(b-1)
MSE=SSE/kb(m-1)
m
SST   Yirj  Y..   Y
i 1 r 1 j1
2
i 1 r 1 j1
2
irj
F
FTr=MSTr/MSE
FBl=MSBl/MSE
FI=MSI/MSE
Y 

2
...
kbm
25
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
Y  Y 


2

k
SSTr  mb Yi..  Y...
i 1

2
i..
2
...
i
mb
kmb
Y  Y 


2

b
SSBl  mk  Y.r.  Y...
r 1
k
b

2
.r.
mk

SSI  m Yir.  Yi..  Y...
i 1 j1
k
b
m
k
b
SSE   Y 
i 1 r 1 j1
MSTr =
SSTr
k -1
MSBl =
SSBl
b -1
MSI =
2
irj
i 1 j1

 Yir. 
m
2
2
...
r
kbm
1 k b
1 b 2 1 k 2  Y... 
  Yir.2 
Y.r. 
Yi.. 
m i 1 r 1
mk 
mb 
kbm
r 1
i 1
2
2
k
b
m

  Yirj  Yir.
i 1 r 1 j1

2
Y
2
irj
Y 
 ir.
2
m
SSI
(b - 1)(k - 1)
MSE =
SSE
kb(m - 1)
Έλεγχος της υπόθεσης ότι όλες οι αγωγές ασκούν την ίδια επίδραση:
Η0: Όλοι οι μέσοι είναι ίσοι (μ1..=μ2..= … =μκ..)
Η1: Δύο τουλάχιστον από τους μέσους διαφέρουν ( μi..  μ j.. , για i  j ,
i,j=1,2,…,k)
Συνάρτηση Ελέγχου:
FTr 
MSTr
MSE
26
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
Κριτήριο Ελέγχου: Απορρίπτουμε την Η0 αν: FTr > Fk-1, kb(m-1), 1-α
Έλεγχος της υπόθεσης ότι όλα τα blocks ασκούν την ίδια επίδραση:
Η0: Όλοι οι μέσοι είναι ίσοι (μ.1. =μ.2.= … =μ.κ.)
Η1: Δύο τουλάχιστον από τους μέσους διαφέρουν ( μ.i.  μ.j. , για
Συνάρτηση Ελέγχου: FBl 
i  j , i,j=1,2,…,k)
MSBl
MSE
Κριτήριο Ελέγχου: Απορρίπτουμε την Η0 αν: FBl > Fb-1, kb(m-1), 1-α
Έλεγχος της υπόθεσης ότι δεν υπάρχει αλληλεπίδραση αγωγών και blocks:
Η0: Δεν υπάρχει αλληλεπίδραση αγωγών και blocks
Η1: Υπάρχει αλληλεπίδραση αγωγών και blocks
Συνάρτηση Ελέγχου: FI 
MSI
MSE
Κριτήριο Ελέγχου: Απορρίπτουμε την Η0 αν: FΙ > F(k-1)(b-1), kb(m-1), 1-α
27
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ
28
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
ΑΠΛΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
Εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου της απλής γραμμικής παλινδρόμησης:
Υ = α + βΧ + ε
ˆ
ˆ  αˆ  βX
Y
ŷ  a  bx
  X    Y     X    X Y   Y  bX= Y  S
a
S
n  X    X 
2
i
i
i
2
i
b
i
i
XY
2
i
n   Xi Yi     Xi    Yi 
n   X     Xi 
2
i
X
XX
2
X

i
i
 X  Yi  Y 
X
i
 X
2

SXY
SXX
i
όπου:
Y
1 n
1 n
Y
και
X

 i
 Xi
n i 1
n i 1
SXX    Xi  X    X
2
i
2
i
SYY    Yi  Y    Yi2
2
i
n
i
2
i
 X 

 Y 

2
i
n
i
SXY    Xi  X  Yi  Y     Xi  X  Yi   Xi Yi 
i
i
i
  X   Y 
i
i
n
Στατιστική Συμπερασματολογία στην Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση
Εκτίμηση της Διακύμανσης των τυχαίων σφαλμάτων
Yi  α  βXi  εi
ˆ
ˆ  αˆ  βX
Y
29
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
yi  a  bxi
σ̂  S
2
ˆ 
Y Y



i
2
Y/X
n2
i
2
S2 XY 
1 

 SYY 

n2
SXX 
Διαστήματα Εμπιστοσύνης για τις παραμέτρους του μοντέλου της Απλής Γραμμικής Παλινδρόμησης
Διάστημα Εμπιστοσύνης για το β
β̂  t n 2,1a / 2Sβˆ
Sβˆ  SY / X / SXX
Διάστημα Εμπιστοσύνης για το α
α  t n 2,1a / 2Sαˆ
Sαˆ  SY / X
1 X2

n SXX
Διάστημα Εμπιστοσύνης για την E  Y / X t 
Y  t n 2,1a / 2SYt / Xt
 1 (X  X) 2 
SYt / Xt  SY / Xt   t

SXX 
n
30
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
Διάστημα Πρόβλεψης
Yk  t n  2,1a / 2SYˆ
k
SYk / x k  SY / X
/ Xk
 1  X  X 2 


k
1  
.
SXX
 n

Έλεγχοι Στατιστικών Υποθέσεων για τις παραμέτρους του μοντέλου:
Έλεγχοι Υποθέσεων για το β
Ηο : β = βο
Η1 : β > βο
Ηο : β = βο
Η1 : β ≠ βο
Στατιστική Συνάρτηση Ελέγχου:
To 
Ηο : β = βο
Η1 : β < βο
β  βo
SY / X
t n 2
SXX
Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτουμε την Ηο αν:
T0 > t n-2,1-a
T0 > t n-2,1-a/2
ή
T0 < -t n-2,1-a/2
tn-2,1-a
T0 < - t n-2,1-α
-tn-2,1-a
tn-2,1-a/2
-tn-2,1-a/2
Έλεγχοι Υποθέσεων για το α
Ηο : α = αο
Η1 : α > αο
Ηο : α = αο
Η1 : α ≠ αο
Στατιστική Συνάρτηση Ελέγχου:
α  αo
To 
SY / X
1 X2

n SXX
Ηο : α = αο
Η1 : α < αο
t n 2
31
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτουμε την Ηο αν:
T0 > t n-2,1-a
T0 > t n-2,1-a/2
ή
T0 < -t n-2,1-a/2
tn-2,1-a
T0 < - t n-2,1-α
tn-2,1-a/2
-tn-2,1-a/2
-tn-2,1-a
ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ
Συντελεστής Προσδιορισμού
R2=


 Ŷi -Y 


2
  Yi -Y 
2

=
b2   Xi -X 

Syy

2
S
S2xy
= b2 Sxx = b xy =
Syy
Syy SxxSyy
n 1 

R 2 adj  1  1  R 2 
n  2 

32
Στατιστική και Θεωρία Αποφάσεων
Τυπολόγιο
Συντελεστής Συσχέτισης
ρ
ρ
Coν(X, Y)
σXσY
  Χ  X  Y  Y 
Χ  X Y  Y
i
i
2
i
r
2
i
  X  X  Y  Y 
X  X Y  Y
i
i
2
i
2
i

  X Y  nXY 

  X  nX    Y  nY 
i
2
i
i
2
2
i
2
SXY
SXX SYY
Έλεγχοι Υποθέσεων για το Συντελεστή Συσχέτισης
Ακριβής Έλεγχος
Ηο : ρ = ρο
Ηο : ρ = ρο
Η1 : ρ> ρο
Ηο : ρ = ρο
Η1 : ρ < ρο
Η1 : ρ ≠ ρο
Στατιστική Συνάρτηση Ελέγχου:
To  r
n2
1 r2
t n 2
Κριτήριο Απόρριψης: Απορρίπτουμε την Ηο αν:
t0 > t n-2,1-a
t0> t n-2,1-a/2
ή
t0 < -t n-2,1-a/2
tn-2,1-a
-tn-2,1-a/2
t0 < - t n-2,1-α
tn-2,1-a/2
-tn-2,1-a
33