A,AW ,+ w<~W,#
+@UUL*|@ _ Ai4 _<,t@4i
+jhqqdlr 5343 0 jlxjqr 5347,
Glsduwlphqwr gl Pdqdjhphqw
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yl
Suhid}lrqh
Tema 1
Prova scritta del 12 gennaio 2010
1. Un prestito di 10000 euro viene rimborsato in 5 anni secondo un ammortamento all’italiana
al tasso di interesse del 5% annuo composto. La terza rata è pari a:
R 2200
R 2000
* R 2300
R 2100
2 Sia f : A – R v R una funzione dispari. Indicando con G f il grafico di tale funzione si ha
che:
Ÿx, y G f ´ Ÿx, "y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿy, x G f
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, y G f
* Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, "y G f
3 La funzione fŸx xe x è strettamente convessa su:
I Ÿ0, .
tutto R
I ¡"2, .
* I Ÿ"2, .
4 Data un’operazione finanziaria, il suo VAN calcolato ad un certo tasso i:
esiste sempre ma può non essere unico
può non esistere, ma se esiste è unico
può non esistere, e se esiste può non essere unico
* esiste sempre ed è unico
5 La primitiva della funzione fŸx FŸx x x " x 3 13
FŸx x x " x 3 " 13
* FŸx 23 x x " 13 x 3 " 13
FŸx 23 x x " 13 x 3 13
6 Data la funzione fŸx punto x 0 1 è:
* y 52 x " 12
y 32 x 12
y 32 x " 12
y 52 x 12
x " x 2 passante per il punto P Ÿ1, 0 è:
x x 2 l’equazione della retta tangente a fŸx in corrispondenza del
1
7 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
ŸL P · ŸL Q
Q´P
P ´ ŸL Q
* ŸL P · Q
8 Date le funzioni fŸx log x e gŸt e t1 la funzione composta g ( f è:
* gŸfŸx
xe per x 0
gŸfŸx
x 1 per x 0
gŸfŸx
x 1 x
gŸfŸx
xe x
9 Il dominio della funzione fŸx 3x
logŸx"3
è dato da:
* D Ÿ4, .
D ¡4, .
D Ÿ"., 0¢ : ¡4, .
D Ÿ"., 0 : Ÿ4, .
10 Dato l’insieme X Ÿ"., "3 9 Ÿ"4, "2 il punto x "4 è:
isolato
interno
esterno
* di frontiera
11 I vettori x ) 1 0
ey sono ortogonali:
) 0 1
solo per ) 1
* solo per ) 0
per nessun valore di ) R
per ) #1
12 Se il montante in regime di interessi semplici di una somma pari a 2000 dopo 5 anni e 9
mesi vale 3200, il tasso di interesse annuo vale:
* i 0. 1043
i 0. 075
i 0. 0852
i 0. 0652
2
13 In regime di capitalizzazione composta, il tasso trimestrale di interesse equivalente al tasso
annuo del 3% è:
i 3 3 1. 03 " 1
i 4 0.03
4
* i 4 4 1. 03 " 1
i 3 0.03
3
14 La funzione:
e x )Ÿx 1
se x 0
x 2 " 3x
se x u 0
fŸx è continua su tutto R per:
)1
nessun ) R
* ) "1
ogni ) R
15 La disequazione x 1 u
x 2 è verificata per:
"1" 5
"1 5
x t 2 8x u 2
"1 5
*x u 2
"1 5
"2 t x t 2
"1" 5
"1 5
txt 2
2
16 Un BOT del valore nominale di 1000 euro, scadente 3 mesi dopo l’emissione, viene
acquistato all’emissione al prezzo di 980 euro e viene rivenduto dopo 1 mese al prezzo di
990 euro. Il rendimento realizzato detenendo il titolo per questo periodo è:
* i 0. 1224
i 0. 0606
i 0. 0612
i 0. 1212
17 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi £"105, 5, 5, 105¤ alle scadenze annue
£0, 1, 2, 3¤ il suo tasso interno di rendimento:
è uguale al 5%
non esiste
* è minore del 5%
è maggiore del 5%
18 Il limite lim
xv0
sin 2 x
sin x
vale:
1
1
2
0
*2
3
2
19 Data la funzione di due variabili fŸx, y e xy la sua matrice hessiana nel punto P Ÿ"1, 1
è data da:
* 2 fŸ"1, 1 2 fŸ"1, 1 2 fŸ"1, 1 2 fŸ"1, 1 1 2
2 6
1 2
2 4
1
"2
"2 "6
1
"2
"2
6
20 Date le matrici:
A
2
1 "1 0
2
0
B
1
3 1
"1 0 1
0
1 2
il prodotto AB:
è dato dalla matrice C 2
"3 0
"2
0
1
non si può calcolare
* è dato dalla matrice C è dato dalla matrice C 3 3 0
4 7 4
1 3 2
4 7 4
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema del confronto (o “Teorema dei due
carabinieri”) relativo ai limiti di funzioni.
4
Tema 2
Prova scritta del 2 febbraio 2010
1 Il dominio della funzione fŸx x2
x "2
è dato da:
D Ÿ0, 4 : Ÿ4, .
D Ÿ0, .
* D ¡0, 4 : Ÿ4, .
D ¡0, .
2 La condizione di chiusura finanziaria iniziale di un ammortamento stabilisce che il valore
del debito complessivo:
* è uguale alla somma delle rate scontate
è uguale alla somma delle quote di capitale
è uguale alla somma delle rate capitalizzate
è uguale alla somma delle rate
3 La funzione fŸx |x| 2x è:
positiva su tutto il dominio
* definita su R &£0¤
dispari
pari
4 La funzione fŸx, y Ÿx 2 " 1 Ÿy 1 ha una sella:
* sia nel punto Ÿ"1, "1 sia nel punto Ÿ1, "1
solo nel punto Ÿ1, "1
solo nel punto Ÿ"1, "1
sia nel punto Ÿ1, 1 sia nel punto Ÿ"1, 1
5 Data un’operazione finanziaria A caratterizzata dai flussi £"100, 130¤ alle scadenze annue
£0, 1¤ e un’operazione finanziaria B caratterizzata dai flussi £"100, 0, 130¤ alle scadenze
annue £0, 1, 2¤, sulla base del criterio del VAN con tasso annuo dell’8%:
non è possibile scegliere tra A e B
vi è indifferenza tra A e B
* è preferibile A
è preferibile B
5
6 La funzione:
Ÿx 2 1
2
) se x "1
fŸx con ) R
e
x 2 "1
se x u "1
è continua su tutto R:
solo per ) 1
per ogni valore di ) R
per nessun valore di ) R
* solo per ) "3
7 Una rendita prevede il versamento di rate perpetue annue posticipate di 300 euro ciascuna.
Se il tasso di interesse applicato è del 3% annuo composto, il valore attuale di questa rendita
è:
A 10300
A 10200
A 10100
* A 10000
8 I vettori x ) 1 0
ey sono ortogonali:
) 0 1
* solo per ) 0
per ) #1
per nessun valore di ) R
solo per ) 1
9 Lo sviluppo di Mac Laurin, arrestato al secondo ordine, della funzione fŸx fŸx 1 x " 12 x 2 oŸx 2
* fŸx 1 " x " 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 x 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 " x 12 x 2 oŸx 2
10 La funzione fŸx 13 x 3 " 32 x 2 2x in R ha:
* un punto di minimo locale in x 2 e un punto di massimo locale in x 1
un punto di minimo locale in x 2 e nessun massimo locale
un punto di minimo locale in x 1 e un punto di massimo locale in x 2
un punto di massimo locale in x 1 e nessun minimo locale
6
1 " 2x è:
11 Un’operazione finanziaria prevede un’entrata di 2000 euro oggi, un esborso di 750 euro fra
1 anno e un altro esborso di 750 euro fra 2 anni. Ipotizzando che vi siano spese accessorie
pari a 100 euro, sostenute immediatamente, il tasso interno dell’operazione è il tasso x che
risolve l’equazione:
1900 " 750 1 " 750 2 0
2000 "
2000 "
* 1900
Ÿ1x 12
Ÿ1x 12
750
750
"
0
1x
Ÿ1x 2
750
750
1
"
Ÿ1x 12
Ÿ1x
750
750
" 1x "
Ÿ1x 2
2
12
0
0
12 La derivata della funzione fŸx 2
f U Ÿx 6x 8x"12
2
U
f Ÿx
* f U Ÿx
f U Ÿx
x 2 "3x
6x"4
, dove esiste, è:
Ÿ6x"4
6x 2 "8x12
6x"4
2
6x "8x12
Ÿ6x"4 2
2
6x "44x12
Ÿ6x"4 2
13 Dati gli insiemi A Ÿ"., "5 e B Ÿ3, 4 , l’insieme X ŸA : B
aperto
illimitato inferiormente
* illimitato superiormente
limitato
14 Il grafico della funzione fŸx log
P Ÿ"3, 0
P " 13 , 0
* P Ÿ3, 0
P Ÿ1, 0
2x"1
x2
C
è:
interseca l’asse delle ascisse nel punto:
15 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
F
F F
V
corrisponde all’espressione:
ŸL Q ´ P
ŸL P · ŸL Q
* ŸL P ´ ŸL Q
P 7 ŸL Q
7
16 La disequazione log 1 x 9 t "1 è verificata per:
2
"9 x "5
* x u "5
"9 x t "5
x "5
17 Il limite xv.
lim
x"6 " x6
vale:
6
1
*0
.
18 L’integrale definito:
3
;0
1 x dx
vale:
7
3
3
* 143
18
19 In capitalizzazione semplice, il tasso di interesse annuo equivalente al tasso trimestrale del
4% è:
i 0. 12
i 0. 1699
* i 0. 16
i 0. 1249
20 Un BOT del valore nominale di 3000 euro scade 3 mesi dopo l’emissione. Se il suo
rendimento annuo semplice è pari al 4%, il prezzo all’emissione è:
* P 0 2970. 30
P 0 2960. 53
P 0 2678. 57
P 0 2586. 21
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange, illustrando anche il suo
significato geometrico.
8
Tema 3
Prova scritta del 15 giugno 2010
1 Il limite xv.
lim
x2 x 1
x2 2
vale:
.
*1
0
1
2
2 Lo sviluppo di Mac Laurin, arrestato al secondo ordine, della funzione fŸx fŸx 1 x " 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 " x 12 x 2 oŸx 2
* fŸx 1 " x " 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 x 12 x 2 oŸx 2
3 Il dominio della funzione fŸx Ÿ2x
D £0¤
*D D Ÿ"., 0
D Ÿ0, .
logŸ"x
1 " 2x è:
è:
4 Sia f : X – R v R una funzione dispari. Indicando con G f il grafico di tale funzione si ha
allora:
Ÿx, y G f ´ Ÿy, x G f
* Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, "y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿx, "y G f
5 Una rendita perpetua prevede il pagamento di rate annue posticipate di 300 euro ciascuna.
Se il tasso di interesse applicato è del 6% annuo, il montante di questa rendita:
300
è dato da M 0.06
Ÿ1 0. 06
300
è dato da M 10.06
* non esiste
300
è dato da M 0.06
9
6 Data l’operazione finanziaria descritta dai flussi £"1000, 100, 200, 1500¤ alle scadenze
£0, 1, 2, 3¤, il suo TIR:
è minore del 10%
* è maggiore del 10%
non esiste
è uguale al 10%
7 La funzione fŸx x 3 " 2x sull’intervallo ¡0, 1¢ ha:
* un minimo in x 1 e un massimo in x 161
un minimo in x 1 e un massimo in x 0
un minimo in x 1 e un massimo in x 361
un minimo in x 0 e un massimo in x 1
8 Dati gli insiemi A ¡"3, "1 e B ¡"2, 1 , per l’insieme X ŸA 9 B
isolato
di frontiera
* interno
esterno
c
il punto x 0 è:
9 In regime di capitalizzazione composta, il tasso periodale i m equivalente al tasso di interesse
annuo i è dato da:
i m Ÿ1 i m " 1
* im m 1 i " 1
im m 1 " i 1
i m Ÿ1 " i m 1
10 L’integrale indefinito:
;
1 " x dx
vale:
" 23 1 " x c con c R
2
1 " x c con c R
3
2
Ÿ1 " x 1 " x c con c R
3
* " 23 Ÿ1 " x 1 " x c con c R
11 Un debito di 10000 euro viene rimborsato in 4 anni secondo un ammortamento all’italiana.
Se il tasso di interesse è del 5% annuo composto, la seconda rata è pari a:
* R 2875
R 3000
R 2750
R 2500
10
12 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
F
F V
V
F F
V
corrisponde all’espressione:
ŸL P 7 ŸL Q
* ŸL Q ´ ŸL P
ŸL P ´ ŸL Q
P 7 ŸL Q
)
13 Il vettore x 1
ha norma unitaria:
1
* per nessun ) R
solo per ) 0
sia per ) "1 sia per ) 1
solo per ) 1
logŸxy
14 Il dominio della funzione di due variabili fŸx, y xy è:
D £Ÿx, y R 2 : Ÿx u 0 7 y u 0 8 Ÿx t 0 7 y t 0 ¤
D £Ÿx, y R 2 : Ÿx u 0 7 y u 0 ¤
D £Ÿx, y R 2 : Ÿx 0 7 y 0 ¤
* D £Ÿx, y R 2 : Ÿx 0 7 y 0 8 Ÿx 0 7 y 0 ¤
x 2 "4x
15 La disequazione 13
t 1 è verificata per:
x t 2" 5 8x u 2 5
*x t 08x u 4
0txt4
2" 5 t x t 2 5
16 La funzione fŸx, y xe x " y 2 nel punto A Ÿ"1, 0 ha:
un massimo locale
un punto stazionario di cui non è possibile precisare la natura
un minimo locale
* una sella
11
17 Date le funzioni fŸx e x2 e gŸt log t la funzione composta g ( f è:
gŸfŸx
xe 2 per x 0
* gŸfŸx
x 2 x
gŸfŸx
xe 2 x
gŸfŸx
x 2 per x 0
18 Un’obbligazione del valore nominale di 1000 euro, scadente tra 1 anno, viene acquistata al
prezzo di 900 euro. Se il titolo paga cedole semestrali di 30 euro e ha un valore di rimborso
di 1010 euro, il rendimento effettivo è il tasso x che risolve l’equazione:
30
"900 1x
10402 0
"1000 * "900 "1000 Ÿ1x
30
1040
0
1x
Ÿ1x 2
30
1040
0
1 1x
2
Ÿ1x
30
1040
0
1 1x
2
Ÿ1x
19 Dovendo scegliere tra l’operazione finanziaria A, caratterizzata dai flussi
£100, 110, 0, "25¤ alle scadenze annue £0, 1, 2, 3¤ e l’operazione finanziaria B,
caratterizzata dai flussi £0, 110, 121, "25¤ alle stesse scadenze, un soggetto che valuta
utilizzando il criterio del VAN al tasso annuo del 10%:
sceglie in ogni caso l’operazione B
* è indifferente tra le due operazioni
sceglie in ogni caso l’operazione A
non è in grado di scegliere tra le due operazioni
20 Una funzione f : X – R v R ha una discontinuità eliminabile in un punto x 0 X se:
almeno uno dei due limiti xvx
lim" fŸx e lim fŸx non esiste
0
xvx 0
lim fŸx p lim fŸx ed entrambi questi limiti sono finiti
xvx "0
xvx 0
almeno uno dei due limiti xvx
lim" fŸx e lim fŸx vale o.
0
xvx 0
* xvx
lim" fŸx lim fŸx ma questi limiti sono diversi da fŸx 0
0
xvx 0
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat (condizione necessaria del
prim’ordine per la ricerca di massimi e minimi).
12
Tema 4
Prova scritta del 13 luglio 2010
1 Una funzione f : X – R v R si dice iniettiva se:
x 1 x 2 ´ fŸx 1 fŸx 2 x 1 , x 2 X
x 1 p x 2 ´ fŸx 1 fŸx 2 x 1 , x 2 X
x 1 x 2 ´ fŸx 1 fŸx 2 x 1 , x 2 X
* x 1 p x 2 ´ fŸx 1 p fŸx 2 x 1 , x 2 X
2 Il dominio della funzione fŸx ln
2x3
x"2
è:
3
2
3
2
D "., "
: Ÿ2, .
D "., "
: ¡2, .
3
* D "., " 2 : Ÿ2, .
D Ÿ"., 2 : Ÿ2, .
3 La funzione fŸx x2
ammette:
x"3
solo asintoto orizzontale (completo) y 1
* asintoto orizzontale (completo) y 1 e asintoto verticale (completo) x 3
solo asintoto verticale (completo) x 3
asintoto verticale (completo) x 3 e asintoto obliquo (completo) y 3x 1
4 La disequazione 2x 1 x " 2 è verificata per:
x 3" 6 8x 3 6
x u " 12
*x 3 6
xu2
5 Il limite lim x
xv0
1
x
3 vale:
*0
1
3
.
6 Nel regime di capitalizzazione semplice con tasso annuo di interesse del 5%, un capitale
iniziale di ammontare C raddoppia in:
t 10 anni
t 5 anni
t 40 anni
* t 20 anni
13
7 La funzione fŸx x 2 x
2
:
* non è né pari né dispari
è dispari
è definita su R & £0¤
è pari
8 La primitiva della funzione fŸx x ln x passante per il punto A Ÿ1, 0 è:
FŸx 12 x 2 ln x " 14 x 14
* FŸx 12 x 2 ln x " 14 x 2 14
FŸx 12 x 2 ln x 14 x " 14
FŸx 12 x 2 ln x " 14 x 2 " 14
9 Dovendo scegliere tra l’operazione finanziaria A, caratterizzata dai flussi
£"1000, 100, 1100¤ alle scadenze annue £0, 1, 2¤ e l’operazione finanziaria B,
caratterizzata dai flussi £"1000, 1200¤ alle scadenze annue £0, 2¤ un soggetto che valuta
utilizzando il criterio del VAN al tasso annuo del 5%:
* sceglie in ogni caso l’operazione A
sceglie in ogni caso l’operazione B
non è in grado di scegliere tra le due operazioni
è indifferente tra le due operazioni
10 Un BOT del valore nominale di 1000 euro scade 6 mesi dopo l’emissione. Se il rendimento
annuo semplice è pari al 3%, il prezzo di emissione è:
P 873. 79
* P 985. 22
P 886. 70
P 970. 87
11 Il TIR (Tasso Interno di Rendimento) di un’operazione finanziaria:
esiste sempre ma può non essere unico
può non esistere ma se esiste è unico
* può non esistere e se esiste può non essere unico
esiste sempre ed è unico
12 Un prestito di 10000 euro viene rimborsato in 5 anni secondo un ammortamento all’italiana.
Se il tasso di interesse è del 4% annuo composto, la terza rata è pari a:
R 2160
R 2080
R 2000
* R 2240
14
13 La funzione fŸx x4
è strettamente convessa:
x"1
sull’intervallo Ÿ"., 1
su tutto R
sull’intervallo Ÿ"1, 1
* sull’intervallo Ÿ1, .
14 Data una funzione f : X – R v R, si chiama punto critico (o stazionario) un punto x ' tale
che:
* f U Ÿx ' 0
UU
f Ÿx ' 0
f ha un massimo in x '
f ha un minimo in x '
15 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
corrisponde all’espressione:
ŸL P 7 Q
P · ŸL Q
* ŸL P · ŸL Q
P 7 ŸL Q
16 Dati gli insiemi A ¡"3, 1¢ e B Ÿ"2, 2¢, per l’insieme X A 9 B il punto x 1 è:
* di frontiera
isolato
esterno
interno
17 Le matrici A 1 )
0 1
eB ) 1
soddisfano la proprietà commutativa del
0 0
prodotto:
solo per ) 1
per ogni ) R
per ) #1
* solo per ) 0
15
18 Una rendita perpetua prevede il pagamento di rate annue anticipate di 400 euro ciascuna. Se
il tasso di interesse applicato è del 10% annuo, il valore attuale di questa rendita:
è dato da A 8800
non esiste
è dato da A 4000
* è dato da A 4400
19 La derivata della funzione fŸx U
f Ÿx 2x e
f U Ÿx ex
2 1
2 1
2 1
2 1
20 Data la funzione di due variabili fŸx, y A Ÿ0, 2 è:
2 fŸA 2 fŸA 2 fŸA 2
* fŸA è:
x 2 1
* f U Ÿx x e x
f U Ÿx 2 e x
ex
" 161
" 14
" 14
0
" 321
1
8
1
8
0
1
32
1
8
x y 2 la sua matrice hessiana nel punto
1
8
0
" 321
" 18
" 18
0
Domanda aperta: Definire la nozione di continuità per una funzione f : X – R v R e
illustrare i possibili tipi di discontinuità.
16
Tema 5
Prova scritta del 14 settembre 2010
1 Dato un impiego di 1500 euro in capitalizzazione semplice al tasso annuo del 5%, per
ottenere un montante pari al triplo della somma impiegata occorre un numero di anni pari a:
t 20
t 10
* t 40
t5
2 La funzione di due variabili fŸx, y x 2 2y 2 :
ha un massimo (relativo) nell’origine e nessun minimo
* ha un minimo (relativo) nell’origine e nessun massimo
non ha punti stazionari
ha una sella nell’origine e nessun minimo né massimo
3 Lo sviluppo di Mac Laurin, arrestato al terzo ordine, della funzione fŸx fŸx 1 " x " 12 x 2 " 12 x 3 oŸx 3
* fŸx 1 x " 12 x 2 12 x 3 oŸx 3
fŸx 1 x 12 x 2 12 x 3 oŸx 3
fŸx "1 x 12 x 2 12 x 3 oŸx 3
4 La funzione:
e x )x se x 0
fŸx con ) R
2
x " 2x se x u 0
è continua su tutto R per:
ogni ) R
) "1
* nessun ) R
)1
5 Data un’operazione finanziaria, il suo VAN calcolato ad un certo tasso i:
può non esistere, ma se esiste è unico
esiste sempre ma può non essere unico
può non esistere, e se esiste può non essere unico
* esiste sempre ed è unico
17
1 2x è:
6 Dati gli insiemi A Ÿ"., 0 e B Ÿ"1, 2¢ l’insieme X ŸA 9 B
X Ÿ"., 2¢
X Ÿ"1, 0
X Ÿ2, .
* X Ÿ"., "1¢ : ¡0, .
2
7 I vettori x )
0
,y 1
è:
2
ez 4
)
1
c
sono linearmente dipendenti per:
5
)0
*) 2
)p0
)p2
8 Il dominio della funzione fŸx Ÿx
* D Ÿ0, .
D ¡0, .
D Ÿ"., 0¢
D Ÿ"., 0
log x
è:
9 Uno zero-coupon bond scadente 3 mesi dopo l’emissione fornisce un rendimento annuo
semplice del 4%. Il suo prezzo all’emissione per unità di nominale è:
* P 0 0. 99
P 0 0. 9902
P0 1
P 0 0. 9
10 La funzione fŸx log x sull’intervallo Ÿ1, 2¢:
* ha un massimo in x 2 ma non ha minimo
ha un minimo in x 1 e un massimo in x 2
non ha né massimo né minimo
ha un minimo in x 1 ma non ha massimo
3"x
11 La funzione fŸx e 1"x interseca gli assi cartesiani:
sia nel punto A Ÿ0, e 2 sia nel punto B Ÿ1, 0
* solo nel punto A Ÿ0, e 3
sia nel punto A Ÿ0, e 3 sia nel punto B Ÿ1, 0
solo nel punto A Ÿ0, e 2
18
1
12 L’integrale definito ; x 2 e 2x dx vale:
0
1
4
e 4 " 14
* 14 e 2 " 14
5 4
e " 14
4
5 2
e " 14
4
13 In regime di capitalizzazione composta, il tasso di interesse trimestrale equivalente al tasso
di interesse annuo del 6% è pari a:
i 3 0. 0196
* i 4 0. 0147
i 3 0. 020
i 4 0. 015
14 La derivata della funzione fŸx xe
sin x
f U Ÿx xe cos x
sin x
, dove è definita, è:
2 sin x
U
f Ÿx xe
f U Ÿx e
* f U Ÿx e
sin x
cos x
sin x
sin x
x cos x
sin x
sin x
2
x cos x
2 sin x
1
15 Il limite:
x
lim sin
x
xv.
vale:
1
*0
.
".
16 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi £1000, "100, "100, "1000¤ alle
scadenze £0, 1, 2, 3¤ il suo TIR:
è uguale al 10%
è maggiore del 10%
* è minore del 10%
non esiste
17 La disequazione log 1 Ÿx 2 8 "2 è verificata per:
3
x t "1 8 x u 1
"1 x 1
"1 t x t 1
* x "1 8 x 1
19
18 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
* ŸL Q ´ P
ŸL Q ´ ŸL P
ŸL P ´ ŸL Q
P ´ ŸL Q
19 Sia f : X – R v R una funzione pari. Indicando con G f il grafico di tale funzione si ha
allora:
* Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿy, x G f
Ÿx, y G f ´ Ÿx, "y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, "y G f
20 Un prestito di 2000 euro viene rimborsato pagando dopo 1 anno la somma di 1200 euro,
dopo 2 anni la somma di 600 euro e dopo 3 anni l’ammontare R. Nell’ipotesi che il tasso
applicato sia pari al 10% annuo composto, l’ammontare pagato al terzo anno è:
* R 550
R 220
R 200
R 616
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.
20
Tema 6
Prova scritta del 1 febbraio 2011
1 La disequazione log 1 x " 1 "1 è verificata per:
3
1 x t 10
x 10
x u 10
* 1 x 10
2 Il limite lim xv0
.
e
*0
1
Ÿe x "1 x
sin x
vale:
3 In regime di capitalizzazione composta, il tasso di interesse trimestrale equivalente al tasso
annuo del 4% è dato da:
i 3 3 1 0. 04 1
i 3 3 1 0. 04 " 1
i 4 4 1 0. 04 1
* i 4 4 1 0. 04 " 1
4 Data la funzione di due variabili fŸx, y e x
P Ÿ1, 0 è:
2 fŸP 2 fŸP 2 fŸP 2 y 2
2e 2 0
0
6e
2e 0
0
6e
6e 2
2e 2
2
* 2 fŸP 5 La funzione fŸx 6e 2
2
2e
4x
3x 3 2x
è:
* pari
definita solo su Ÿ0, .
definita su tutto R
dispari
21
x 2 y la sua matrice hessiana nel punto
6 La funzione:
Ÿx )
2
" 1 se x 0
fŸx lnŸ1 x
se x u 0
è continua su tutto R:
* per ) #1
solo per ) "1
solo per ) 1
per nessun valore di ) R
7 Lo sviluppo di Mac Laurin, arrestato al terzo ordine, della funzione fŸx e x " x 2 è:
* fŸx 1 x " 12 x 2 16 x 3 oŸx 3
fŸx 1 x " 32 x 2 16 x 3 oŸx 3
fŸx 1 x 12 x 2 16 x 3 oŸx 3
fŸx 1 x 32 x 2 16 x 3 oŸx 3
8 Un punto x 0 è di frontiera per un insieme A se:
x 0 appartiene ad A ed esiste almeno un suo intorno che contiene sia punti di A sia punti di
Ac
x 0 appartiene ad A ed esiste almeno un suo intorno tutto contenuto in A
* ogni intorno di x 0 contiene sia punti di A sia punti di A c
x 0 appartiene ad A c ed esiste almeno un suo intorno tutto contenuto in A c
9 Date le funzioni fŸx 3 x 1 e gŸt t 3 1 la funzione composta f ( g è data da:
fŸgŸt
3 t3 1 1
* fŸgŸt
3 t3 2
fŸgŸt
t2
fŸgŸt
t1
10 La primitiva della funzione fŸx e x passante per il punto P Ÿ1, 0 è:
* FŸx 2e x Ÿ x " 1
FŸx e x Ÿ x " 1
FŸx e x Ÿ x " 1 2
FŸx 2e x Ÿ x " 1 3
11 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi £"1000, 300, 400, 500¤ alle scadenze
£0, 1, 2, 3¤, il suo TIR:
non esiste
* è maggiore del 5%
è uguale al 5%
è minore del 5%
22
12 Un BOT del valore nominale di 1000 euro, scadente 6 mesi dopo l’emissione, viene
acquistato all’emissione al prezzo di 980 euro. Se dopo 4 mesi viene venduto al prezzo di
990 euro, il rendimento annuo semplice realizzato detenendo il titolo è pari a:
* i 990"980
980 4
12
i
i
i
1000"980
6
1000 12
1000"980
6
980 12
990"980
4
990 12
13 Il dominio della funzione fŸx x3
lnŸx2
è:
D ¡"2, .
* D Ÿ"2, "1 : Ÿ"1, .
D Ÿ"2, .
D ¡"2, "1 : Ÿ"1, .
14 Si versano, iniziando fra un mese, 12 rate mensili di importo costante pari a 200 euro. Se il
tasso di interesse mensile effettivo è pari all’1. 5%, il montante in capitalizzazione composta
disponibile tra un anno è pari a:
M 200 1"Ÿ10.015
M 200 Ÿ10.015
* M 200 M 200 "12
0.015
10.015
12 "1
0.015
10.015
Ÿ10.015 12 "1
0.015
1"Ÿ10.015 "12
0.015
15 Il vettore:
)
x
1
3
ha norma unitaria:
per ) "1 oppure ) 1
per ) 0
per ) "3 oppure ) 3
* per nessun valore di ) R
23
16 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
ŸL Q ´ ŸL P
ŸL P · Q
P 7 ŸL Q
* ŸL Q ´ P
17 Un prestito di 10000 euro viene rimborsato attraverso il versamento di 4 rate annuali. Nel
caso di ammortamento all’italiana con tasso di interesse del 10% annuo composto, la terza
rata è pari a:
* R 3000
R 3250
R 2750
R 2500
18 La funzione fŸx ln x sull’intervallo Ÿ1, 3¢:
ha un minimo in x 1 ma non ha un massimo
* ha un massimo in x 3 ma non ha un minimo
non ha né minimo né massimo
ha un minimo in x 1 e un massimo in x 3
19 Due operazioni finanziarie della stessa natura sono caratterizzate da valore attuale netto pari,
rispettivamente, a 1000 euro per l’operazione A e a 1500 euro per l’operazione B.
Dovendo scegliere tra le due operazioni:
* si sceglie in ogni caso l’operazione B
si sceglie l’operazione A se si tratta di investimenti e l’operazione B se si tratta di
finanziamenti
si sceglie l’operazione A se si tratta di finanziamenti e l’operazione B se si tratta di
investimenti
si sceglie in ogni caso l’operazione A
20 La derivata della funzione fŸx e
ln x
f U Ÿx e
ln x
, dove è definita, è data da:
x ln x
U
f Ÿx e ln x
2 ln x
ln x
f U Ÿx e x
* f U Ÿx e
ln x
2x ln x
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.
24
Tema 7
Prova scritta del 15 febbraio 2011
1 Sia f : A – R v R una funzione invertibile e sia f "1 la sua inversa. Si ha allora:
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, y G f "1
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, "y G f "1
Ÿx, y G f ´ Ÿ"y, "x G f "1
* Ÿx, y G f ´ Ÿy, x G f "1
2 La disequazione |x 2 " 4| t x " 2 è verificata per:
x t "2 8 x u 2
nessun x R
"2 x 2
*x 2
3 Il dominio della funzione fŸx 1
xe
x 2 "9
è:
D Ÿ"., "3 : Ÿ3, .
D Ÿ"., "3 : Ÿ"3, 0 : Ÿ0, 3 : Ÿ3, .
D Ÿ"., "3¢ : £0¤ : ¡3, .
* D Ÿ"., "3¢ : ¡3, .
4 L’integrale definito ;
2 x
0 x 2 1
dx vale:
2 ln 10
2 ln 5
* 12 ln 5
1
ln 10
2
5 La funzione fŸx x 1 " 2x sull’intervallo ¡0, 1¢:
ha un massimo in x 161 e un minimo in x 0
ha un minimo in x 161 e un massimo in x 1
ha un minimo in x 161 e un massimo in x 0
* ha un massimo in x 161 e un minimo in x 1
6 Un BOT del valore nominale di 2000 euro, scadente tra 6 mesi, fornisce un rendimento
annuo semplice del 3%. Il suo prezzo di acquisto è pari a:
2000
P 10.036
P 2000 6
*P P
Ÿ10.03
2000
6
10.03 12
2000
Ÿ10.03
6
12
25
7 Il dominio della funzione di due variabili fŸx, y D £Ÿx, y
D £Ÿx, y
D £Ÿx, y
* D £Ÿx, y
xy
lnŸxy
è:
R 2 : Ÿx 0 7 y 0 8 Ÿx 0 7 y 0 ¤
R 2 : Ÿx u 0 7 y u 0 8 Ÿx t 0 7 y t 0 ¤
R 2 : ŸŸx 0 7 y 0 8 Ÿx 0 7 y 0 7 y 1x ¤
R 2 : ŸŸx 0 7 y 0 8 Ÿx 0 7 y 0 7 y p 1x ¤
8 La funzione fŸx 3xe x è strettamente convessa sull’intervallo:
I ¡"2, .
I Ÿ"., "2
I Ÿ"., "2¢
* I Ÿ"2, .
9 Un prestito di 5000 euro viene rimborsato attraverso il versamento di 5 rate annuali. Nel
caso di ammortamento all’italiana con tasso di interesse del 3% annuo composto, la terza
rata è pari a:
* R 1090
R 1000
R 1060
R 1030
10 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
F
F F
V
corrisponde all’espressione:
L ŸL P 8 Q
Q ´ ŸL P
L ŸP ´L Q
* L ŸL P 7 Q
11 Un’operazione finanziaria è caratterizzata dai flussi £"1000, 300, 400, 500¤ alle scadenze
£0, 1, 2, 3¤. Il suo TIR è la soluzione dell’equazione:
* "1000 300
400 2 500 3 0
1x
Ÿ1x
Ÿ1x
"1000 300 Ÿ1 x 400 Ÿ1 x
" 1000
300 2 400 3 500 4 0
1x
Ÿ1x
Ÿ1x
Ÿ1x
1000 " 300 Ÿ1 x " 400 Ÿ1 x
2
2
500 Ÿ1 x
" 500 Ÿ1 x
26
3
3
0
0
12 I vettori:
2
x
4
4
y
6
0
2
z
0
2
)
sono linearmente indipendenti:
per ) 0
per ogni valore di ) R
per nessun valore di ) R
* per ) p 0
13 Dati due insiemi A e B, il complementare della loro unione ŸA : B c è uguale:
alla differenza insiemistica dei complementari di A e B, cioè A c & B c
alla differenza insiemistica dei complementari di B e A, cioè B c & A c
all’unione dei complementari di A e B, cioè A c : B c
* all’intersezione dei complementari di A e B, cioè A c 9 B c
14 Il VAN (Valore Attuale Netto) di un’operazione finanziaria:
esiste sempre ma può non essere unico
può non esistere ma se esiste è unico
può non esistere e se esiste può non essere unico
* esiste sempre ed è unico
15 Una rendita perpetua prevede il versamento di una rata costante mensile anticipata di 300
euro. Se il tasso di interesse mensile è del 3%, il montante di questa rendita:
è pari a M 300 Ÿ1 0. 03
è pari a M 300
0.03
10.03
* non esiste
è pari a M 16 Il limite lim xv.
3
2
300
0.03
2 x ln x3
3 x x 3 2
vale:
*0
2
3
.
17 La funzione fŸx ln x
x3
non interseca gli assi cartesiani
interseca l’asse delle ascisse nel punto A Ÿ1, 0 e l’asse delle ordinate nel punto
B Ÿ0, 1
interseca l’asse delle ordinate nel punto A Ÿ0, 1 mentre non interseca l’asse delle
ascisse
* interseca l’asse delle ascisse nel punto A Ÿ1, 0 mentre non interseca l’asse delle
ordinate
27
18 Data la funzione fŸx 3
dy e "2x 1"2x
2 x
dx
dy e "2x 1"4x
2 x
dx
dy * dy e "2x e "2x 1"3x
3 3 x2
1"6x
3 3 x2
x e "2x il suo differenziale è:
dx
dx
19 In regime di capitalizzazione semplice, il tasso di interesse quadrimestrale equivalente al
tasso annuo del 6% è dato da:
* i 3 0.06
3
i 4 4 1 0. 06 " 1
i 4 0.06
4
3
i 3 1 0. 06 " 1
20 La funzione:
e x"1 "1
x"1
se x p 1
x)
se x 1
fŸx è continua su tutto R:
solo per ) 0
* per qualsiasi valore di ) R
per nessun valore di ) R
solo per ) 1
Domanda aperta: Definire le nozioni di derivabilità e differenziabilità di una funzione
f : A – R v R, quindi enunciare e dimostrare il Teorema che esprime il legame tra derivabilità
e differenziabilità.
28
Tema 8
Prova scritta del 21 giugno 2011
1 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
F
F V
F
F F
V
corrisponde all’espressione:
ŸL P · Q
P´Q
*P · Q
ŸL P ´ Q
2 In regime di capitalizzazione composta, il tasso di interesse trimestrale equivalente al tasso
di interesse annuo del 6% è pari a:
* i 4 4 1. 06 " 1
i 3 3 1. 06 " 1
i 3 0.06
3
i 4 0.06
4
3 Date due operazioni finanziarie, un soggetto che decide in base al criterio del Valore Attuale
Netto:
* sceglie in ogni caso l’operazione con VAN maggiore
sceglie in ogni caso l’operazione con VAN minore
sceglie l’operazione con VAN maggiore nel caso di investimenti e quella con VAN
minore nel caso di finanziamenti
sceglie l’operazione con VAN maggiore nel caso di finanziamenti e quella con VAN
minore nel caso di investimenti
4 Data la funzione fŸx, y e x
fŸ1, "1 2 "1
fŸ1, "1 "2 "1
fŸ1, "1 "2 1
* fŸ1, "1 2 1
2 y
il suo gradiente nel punto Ÿ1, "1 vale:
29
5 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi £1000, "100, "100, "1000¤ alle
scadenze £0, 1, 2, 3¤ il suo TIR:
è uguale al 10%
è maggiore del 10%
non esiste
* è minore del 10%
6 La funzione fŸx 3
x"x 3
|x|
è:
pari
definita su tutto R
* dispari
definita solo su Ÿ0, .
7 La disequazione |x 2 " 1| "2 è verificata per:
* ogni x R
x "1 8 x 1
"1 x 1
nessun x R
8 Se il montante in regime di interessi semplici di 2000 euro dopo 5 anni e 9 mesi vale 3200
euro, il tasso di interesse annuo è:
6. 52%
7. 5%
* 10. 43%
8. 52%
9 Dati gli insiemi A Ÿ"., 0 e B Ÿ0, . il complementare in R dell’insieme ŸA : B è:
Ÿ"., 0 : Ÿ0, .
* £0¤
R
3
10 L’integrale definito ; xe x dx vale:
1
* 2e 3
4e 3
3e 3
e3
30
11 Date le matrici:
1 0 0
A
0 1 1
B
) 1 0
0 0 1
0 0 )
)R
1 0 0
il loro prodotto soddisfa la proprietà commutativa:
solo per ) 1
per nessun valore di ) R
* solo per ) 0
per ogni valore di ) R
12 La funzione fŸx x1
ammette:
x"2
nessun asintoto
* asintoto verticale x 2 e asintoto orizzontale y 1
asintoto verticale x 2 e asintoto obliquo y x 1
solo l’asintoto verticale x 2
13 L’equazione della retta tangente alla funzione fŸx x 2 e x nel punto x 0 1 è:
y 3ex e
y 3ex 2e
* y 3ex " 2e
y 3ex 4e
14 La derivata della funzione fŸx f U Ÿx xŸln1x 2
* f U Ÿx " xŸln1x
U
f Ÿx U
f Ÿx " ln1x
Ÿx
1
x ln x
1ln x
ln x
, dove è definita, è:
2
2
15 Un prestito di 2000 euro viene rimborsato pagando dopo 1 anno la somma di 1200 euro,
dopo 2 anni la somma di 600 euro e dopo 3 anni l’ammontare R. Nell’ipotesi che il tasso
applicato sia pari al 10% annuo composto, l’ammontare pagato al terzo anno è:
R 616
R 220
* R 550
R 200
16 Il limite xv.
lim
x2 3 " x2 " 3
vale:
1
*0
.
".
31
17 Lo sviluppo di Mac Laurin della funzione fŸx e x " sin x, arrestato ai termini del
second’ordine, con resto di Peano è:
* fŸx 1 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 x 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 x " 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 " 12 x 2 oŸx 2
18 Il dominio della funzione fŸx lnŸ4 " e "x è dato da:
* D Ÿ" ln 4, .
D Ÿ"., " ln 4¢
D ¡" ln 4, .
D Ÿ"., " ln 4
19 Un BOT del valore nominale di 1000 euro, scadente 3 mesi dopo l’emissione, viene
acquistato all’emissione al prezzo di 980 euro e viene rivenduto dopo 1 mese al prezzo di
990 euro. Il rendimento realizzato detenendo il titolo per questo periodo è:
i 1000"980
1000 1
12
990"980
1
990 12
1000"980
980 1
12
i 990"980
1
980 12
i
i
*
20 I vettori x 1 ) 2
ey 1 ) 0
sono ortogonali:
* per nessun valore di ) R
per ogni valore di ) R
solo per ) 0
solo per ) "1
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange, fornendone anche
un’interpretazione geometrica.
32
Tema 9
Prova scritta del 19 luglio 2011
1 Una funzione f : X – R v R ha una discontinuità eliminabile in un punto x 0 X se:
almeno uno dei due limiti xvx
lim" fŸx e lim fŸx vale o.
0
xvx 0
lim fŸx p lim fŸx ed entrambi questi limiti sono finiti
xvx "0
xvx 0
almeno uno dei due limiti xvx
lim" fŸx e lim fŸx non esiste
0
xvx 0
* xvx
lim" fŸx lim fŸx ma questi limiti sono diversi da fŸx 0
0
xvx 0
2 Un finanziamento di 2000 euro viene rimborsato pagando dopo 4 mesi la somma di 100
euro e dopo 1 anno la somma di 2100 euro. Se vi sono spese accessorie pari a 50 euro da
pagare al momento della concessione del finanziamento, il TAEG è il tasso x che risolve
l’equazione:
1950 " 100 1 " 2100
0
1x
Ÿ1x 4
100
2000 " Ÿ1x
1
4
100
2000 " Ÿ1x 1
3
* 1950 " 100 1
Ÿ1x 3
"
2100
1x
0
"
2100
1x
0
"
2100
1x
0
3 Un debito di 10000 euro viene rimborsato secondo un ammortamento all’italiana in 5 anni.
Se il tasso di interesse applicato è del 4% annuo composto, l’ultima rata è pari a:
* R 2080
R 2400
R 2900
R 2600
4 La funzione fŸx x 3 " 2x sull’intervallo ¡0, 1¢ ha:
un minimo in x 1 e un massimo in x 361
* un minimo in x 1 e un massimo in x 161
un minimo in x 1 e un massimo in x 0
un minimo in x 0 e un massimo in x 1
x 2 "4x
5 La disequazione 13
t 1 è verificata per:
x t 2" 5 8x u 2 5
0txt4
2" 5 t x t 2 5
*x t 08x u 4
33
6 Una rendita prevede il versamento di rate perpetue annue anticipate di 300 euro ciascuna. Se
il tasso di interesse applicato è del 3% annuo composto, il valore attuale di questa rendita è:
A 10200
A 10000
* A 10300
A 10100
1
7 L’integrale definito ; x 2 e 2x dx vale:
1
4
5
4
e 4 " 14
e 2 " 14
* 14 e 2 " 14
5 4
e " 14
4
0
8 Dovendo scegliere tra l’operazione finanziaria A, caratterizzata dai flussi
£200, 220, 0, "50¤ alle scadenze annue £0, 1, 2, 3¤ e l’operazione finanziaria B,
caratterizzata dai flussi £0, 220, 242, "50¤ alle stesse scadenze, un soggetto che valuta
utilizzando il criterio del VAN al tasso annuo del 10%:
non è in grado di scegliere tra A e B perché i flussi di cassa non hanno segno costante
sceglie in ogni caso l’operazione B
sceglie in ogni caso l’operazione A
* è indifferente tra le due operazioni
9 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
F
V F
V
F V
F
F F
F
corrisponde all’espressione:
ŸL P 7 ŸL Q
ŸL Q ´ P
* P 7 ŸL Q
P ´ ŸL Q
10 Un BOT del valore nominale di 3000 euro scade 3 mesi dopo l’emissione. Se il suo
rendimento annuo semplice è pari al 4%, il prezzo all’emissione è:
P 0 2678. 57
P 0 2586. 21
P 0 2960. 53
* P 0 2970. 30
34
1
11 I vettori x 1
ey "1
con ) R sono ortogonali per:
1
)
0
* ogni ) R
)1
)0
nessun ) R
12 Il limite xv.
lim
x
x2
x1
vale:
1
e
2
e
*e
1
e2
13 La funzione fŸx, y xe x y 2 nel punto A Ÿ"1, 0 ha:
* un minimo locale
un massimo locale
una sella
un punto stazionario di cui non è possibile precisare la natura
14 La derivata della funzione fŸx xe
U
f Ÿx e
f U Ÿx f U Ÿx xe
sin x
x cos x
sin x
sin x
, dove è definita, è:
2
sin x
cos x
sin x
xe sin x cos x
2 sin x
* f U Ÿx e
sin x
x cos x
2 sin x
1
15 Lo sviluppo di Mac Laurin, arrestato al terzo ordine, della funzione fŸx e sin x è:
fŸx 1 x " 12 x 2 oŸx 3
fŸx 1 " x " 12 x 2 oŸx 3
* fŸx 1 x 12 x 2 oŸx 3
fŸx 1 " x 12 x 2 oŸx 3
16 Sia f : X – R v R una funzione dispari. Indicando con G f il grafico di tale funzione si ha
allora:
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿy, x G f
Ÿx, y G f ´ Ÿx, "y G f
* Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, "y G f
35
17 Date le matrici:
A
) 1
B
1 0
1 0
0 1
con ) R
il loro prodotto soddisfa la proprietà commutativa per:
* ogni ) R
)1
nessun ) R
)0
18 Il dominio della funzione fŸx log x 2 "3
e
x 2 3
è:
D "., " 3 :
3 , .
* D "., " 3 :
3 , .
D " 3, 3
D " 3, 3
19 In regime di capitalizzazione a interessi anticipati, il tasso di sconto trimestrale equivalente
al tasso annuo del 6% è:
d 3 3 1 0. 06 " 1
d 3 0.06
3
* d 4 0.06
4
d 4 4 1 0. 06 " 1
20 Dati gli insiemi A ¡"3, "1 e B ¡"2, 1 , per l’insieme X ŸA 9 B
di frontiera
* interno
esterno
isolato
c
il punto x 0 è:
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema del confronto (o “Teorema dei due
carabinieri”) relativo ai limiti di funzioni.
36
Tema 10
Prova scritta del 6 settembre 2011
1 Dato un impiego di 1500 euro in capitalizzazione semplice al tasso annuo del 5%, per
ottenere un montante pari al triplo della somma impiegata occorre un numero di anni pari a:
t 10
t5
t 20
* t 40
2 La derivata della funzione fŸx 0
e
1
* 12
e x"1 nel punto x 0 1 vale:
3 Dato l’insieme X Ÿ"1, 0 : ¡0, 2¢ il punto x 2 è:
interno
esterno
isolato
* di frontiera
4 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
F
F F
V
corrisponde all’espressione:
P 7 ŸL Q
* ŸL P ´ ŸL Q
ŸL Q ´ P
ŸL P · ŸL Q
5 La funzione fŸx, y x 3 y 2 2xy in R 2 ha:
né minimo né massimo
un minimo e un massimo
un massimo e una sella
* un minimo e una sella
37
6 Il limite xv.
lim
x2 x 2 " x2 3
vale:
.
1
* 12
0
7 I vettori x ) 1 1
ey ) 0 1
sono linearmente indipendenti:
* per ogni valore di ) R
solo per ) 1
solo per ) 0
per nessun valore di ) R
8 La funzione fŸx 2 ln x " x 2 sul proprio dominio:
non è né concava né convessa
* è strettamente concava
è strettamente convessa
ha un punto di flesso
9 La disequazione
x0
xu0
*x 0
xt0
4x"3
2x
3x è verificata per:
10 Lo sviluppo di Mac Laurin della funzione fŸx e x " sin x, arrestato ai termini del
second’ordine, con resto di Peano è:
* 1 12 x 2 oŸx 2
1 " 12 x 2 oŸx 2
1 x " 12 x 2 oŸx 2
1 x 12 x 2 oŸx 2
11 Un BOT del valore nominale di 1000 euro, scadente 3 mesi dopo l’emissione, viene
acquistato all’emissione al prezzo di 980 euro e viene rivenduto dopo 1 mese al prezzo di
990 euro. Il rendimento realizzato detenendo il titolo per questo periodo è:
* i 0. 1224
i 0. 0606
i 0. 0612
i 0. 1212
38
12 Una rendita prevede il versamento di 3 rate annue posticipate di 1500 euro ciascuna. Se il
tasso di interesse applicato è del 4% annuo composto, il valore attuale di questa rendita è:
* A 4162. 64
A 4869. 70
A 4682. 40
A 4329. 14
13 Il dominio della funzione fŸx e
* D Ÿ"., 0¢ : ¡2, .
D ¡"2, 0¢
D Ÿ"., "2¢ : ¡0, .
D ¡2, .
x 2 "2x
è:
2
ammette:
14 La funzione fŸx x 3x4
x1
asintoto verticale x "1 e asintoto obliquo y x " 2
* asintoto verticale x "1 e asintoto obliquo y x 2
solo asintoto obliquo y x 2
solo asintoto verticale x "1
15 Un’operazione finanziaria è caratterizzata dai flussi £"1000, 300, 400, 500¤ alle scadenze
£0, 1, 2, 3¤. Il suo TIR è la soluzione dell’equazione:
" 1000
300 2 400 3 500 4 0
1x
Ÿ1x
Ÿ1x
Ÿ1x
"1000 300 Ÿ1 x 400 Ÿ1 x
* "1000 300
400 2 500 3 0
1x
Ÿ1x
Ÿ1x
1000 " 300 Ÿ1 x " 400 Ÿ1 x
16 La primitiva della funzione fŸx e
FŸx 2e x Ÿ x " 1 " 1
FŸx 2e x x 1
* FŸx 2e x Ÿ x " 1 3
FŸx 2e x x " 1
x
2
2
500 Ÿ1 x
" 500 Ÿ1 x
3
3
0
0
passante per il punto P Ÿ0, 1 è:
17 Il VAN (Valore Attuale Netto) di un’operazione finanziaria:
esiste sempre ma può non essere unico
* esiste sempre ed è unico
può non esistere e se esiste può non essere unico
può non esistere ma se esiste è unico
39
2 3
18 Date le matrici A 1 2
eB 0 0
1 1
0 0
si ha:
non esiste né AB né BA
2 2
* AB 1 1
mentre BA non esiste
0 0
2 2
AB non esiste mentre BA 1 1
0 0
2 2
AB 1 1
0 0
e BA 3 5
0 0
19 Un prestito di 4000 euro viene rimborsato attraverso un ammortamento di tipo italiano in 4
rate annuali. Se il tasso di interesse è del 5% annuo, la terza rata è pari a:
1050
* 1100
1200
1150
20 Data la funzione fŸx x 3 la sua inversa è:
f "1 Ÿx x 3 per x u 0
f "1 Ÿx x 3 per x u "3
* f "1 Ÿx x 2 " 3 per x u 0
f "1 Ÿx x 2 " 3 per x u "3
Domanda aperta: Definire la nozione di continuità per una funzione f : X – R v R e
illustrare i possibili tipi di discontinuità.
40
Tema 11
Prova scritta del 24 gennaio 2012
1 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
P 7 ŸL Q
* ŸL P ´ Q
P 8 ŸL Q
P ´ ŸL Q
2 Il dominio della funzione fŸx x5
è dato da:
logŸx 3
D Ÿ"3, .
D ¡"3, "2 : Ÿ"2, .
D ¡"3, .
* D Ÿ"3, "2 : Ÿ"2, .
3 Il montante tra 2 anni della somma di 1000 euro in regime di sconto commerciale al tasso
annuo di interesse del 6% è:
M 1" 1000
0.06 2
10.06
12
1000
2
1"0.06 12
1000
M 1"0.062
* M 1" 1000
0.06 2
10.06
M
4 Un BOT di durata semestrale e valore nominale 5000 euro viene acquistato all’emissione al
prezzo di 4800 euro e viene rivenduto 2 mesi prima della scadenza al prezzo di 4900 euro.
Detenendo il titolo per questo periodo, il rendimento annuo i realizzato è:
i 5000"4800
4800 2
12
5000"4800
4
4800 12
4900"4800
2
4800 12
4900"4800
i 4800 4
12
i
i
*
41
5 L’integrale definito ;
*
1
2
3
0
"1
1 x dx vale:
1
3
0
6 La condizione di chiusura finanziaria iniziale di un ammortamento stabilisce che il valore
del debito complessivo:
è uguale alla somma delle rate
è uguale alla somma delle rate capitalizzate
* è uguale alla somma delle rate scontate
è uguale alla somma delle quote di capitale
7 Data un’operazione finanziaria A caratterizzata dai flussi £"100, 130¤ alle scadenze annue
£0, 1¤ e un’operazione finanziaria B caratterizzata dai flussi £"100, 0, 130¤ alle scadenze
annue £0, 1, 2¤, sulla base del criterio del VAN con tasso annuo dell’8%:
* è preferibile A
non è possibile scegliere tra A e B
vi è indifferenza tra A e B
è preferibile B
8 In regime di capitalizzazione composta, il tasso trimestrale di interesse equivalente al tasso
annuo del 3% è:
i 3 0.03
3
i 3 3 1. 03 " 1
* i 4 4 1. 03 " 1
i 4 0.03
4
9 La derivata della funzione fŸx log 2x 2 nel punto x 0 1 vale:
1
2
1
5
*
1
6
1
4
10 Il limite lim
xv0
Ÿe x " 1 x
vale:
sin x
*0
.
".
1
42
11 La funzione fŸx "
x2 " x4
è:
x4
dispari
definita su tutto R
* pari
definita solo su Ÿ0, .
12 La disequazione log x 3 t 1 è verificata per:
x t e2 " 3
"3 t x t e 2 " 3
x e2 " 3
* "3 x t e 2 " 3
13 I vettori x ) 1 2
ey hanno uguale norma:
1 0 2
solo per ) 1
per nessun valore di ) R
per ) #1
* solo per ) 0
x 2x 2 l’equazione della retta tangente a fŸx in corrispondenza
14 Data la funzione fŸx del punto x 0 1 è:
y " 72 x " 52
y 92 x 32
* y 92 x " 32
y " 72 x 52
2
15 La funzione fŸx xe " x ammette:
* asintoto verticale sinistro x 0 e asintoto obliquo y x " 2
solo asintoto obliquo y x " 2
solo asintoto verticale sinistro x 0
asintoto verticale sinistro x 0 e asintoto obliquo y x 2
16 Dati gli insiemi A Ÿ"3, 3¢ e B ¡0, 4 , per l’insieme X ŸA 9 B il punto x 1 è:
esterno
isolato
di frontiera
* interno
17 Date le funzioni fŸx log x e gŸt |t " 2|, la funzione composta f ( g è data da:
fŸgŸt
log|t " 2| per ogni t R
fŸgŸt
|log t " 2| per ogni t R
fŸgŸt
|log t " 2| per t 0
* fŸgŸt
log|t " 2| per t p 2
43
18 La funzione fŸx e x
* su tutto R
su R & £0¤
su Ÿ"., 0
su Ÿ0, .
2 "2
è strettamente convessa:
19 Un’operazione finanziaria prevede un’entrata di 2000 euro oggi, un esborso di 750 euro fra
1 anno e un altro esborso di 750 euro fra 2 anni. Ipotizzando che vi siano spese accessorie
pari a 100 euro, sostenute immediatamente, il tasso interno dell’operazione è il tasso x che
risolve l’equazione:
2000 " 750 1 " 750 2 0
1900 "
Ÿ1x 12
750
1
Ÿ1x 12
750
"
2
0
Ÿ1x 12
Ÿ1x 12
750
* 1900 " 750
"
0
1x
Ÿ1x 2
2000 " 750
" 750 2 0
1x
Ÿ1x
20 La matrice hessiana della funzione fŸx, y logŸx 2y nel punto P Ÿ1, 0 è:
2 fŸ1, 0 * 2 fŸ1, 0 2 fŸ1, 0 2 fŸ1, 0 1
2
"2 "4
"1 "2
"2 "4
"1 "2
2
4
1 2
2 4
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.
44
Tema 12
Prova scritta del 7 febbraio 2012
1 Data una funzione f : X – R v R, si dice che essa ammette asintoto orizzontale di
equazione y l quando:
lim ¡fŸx " lx¢ 0 con l finito e diverso da 0
xv#.
lim# fŸx 0 con l punto di accumulazione per X
xvl
lim# fŸx o. con l punto di accumulazione per X
xvl
* lim fŸx l con l R
xv#.
2 Una rendita prevede il versamento di rate perpetue annue anticipate di 300 euro ciascuna. Se
il tasso di interesse applicato è del 3% annuo composto, il valore attuale di questa rendita è:
A 10100
A 10000
A 10200
* A 10300
3 La funzione:
Ÿx 2 1
2
) se x "1
fŸx con ) R
e
x 2 "1
se x u "1
è continua su tutto R:
per ogni valore di ) R
* solo per ) "3
per nessun valore di ) R
solo per ) 1
4 Un soggetto che valuta utilizzando il criterio del TIR sceglie:
in ogni caso l’operazione con TIR maggiore
l’operazione con TIR maggiore nel caso di finanziamenti e quella con TIR minore nel
caso di investimenti
in ogni caso l’operazione con TIR minore
* l’operazione con TIR maggiore nel caso di investimenti e quella con TIR minore nel
caso di finanziamenti
5 La funzione fŸx, y Ÿx 2 " 1 Ÿy 1 ha una sella:
* sia nel punto Ÿ"1, "1 sia nel punto Ÿ1, "1
solo nel punto Ÿ"1, "1
solo nel punto Ÿ1, "1
sia nel punto Ÿ1, 1 sia nel punto Ÿ"1, 1
45
6 Dato un insieme X, un punto x 0 si dice di frontiera per X se:
ogni intorno di x 0 contiene punti di X (diversi da x 0 )
x 0 appartiene ad X ed esiste un suo intorno tutto contenuto in X
* ogni intorno di x 0 contiene sia punti di X sia punti di X c
x 0 appartiene ad X c ed esiste un suo intorno tutto contenuto in X c
7 La disequazione x 2 " 1 u 1 è verificata per:
x t "1 8 x u 1
ogni x R
xp0
*x t " 2 8x u 2
8 La funzione fŸx 13 x 3 " 32 x 2 2x in R ha:
un punto di massimo locale in x 1 e nessun minimo locale
un punto di minimo locale in x 2 e nessun massimo locale
* un punto di minimo locale in x 2 e un punto di massimo locale in x 1
un punto di minimo locale in x 1 e un punto di massimo locale in x 2
9 La derivata della funzione fŸx e
ln x
* f U Ÿx e
ln x
, dove è definita, è:
2x ln x
f Ÿx e ln x
2 ln x
f U Ÿx f U Ÿx e
U
e
ln x
x
ln x
ln x
10 L’integrale definito ;
3
4
*
9
4
9
4
3
9
4
3
0
3
x dx vale:
3
3
3
3
11 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
F
F F
V
corrisponde all’espressione:
ŸL P · ŸL Q
* ŸL P ´ ŸL Q
ŸL Q ´ P
P 7 ŸL Q
46
12 Un’obbligazione del valore nominale di 1000 euro viene acquistata al prezzo di 950 euro e
paga cedole semestrali di 50 euro ciascuna. Il tasso cedolare è:
100
* i 1000
i 100
950
50
i 950
50
i 1000
13 I vettori x ey ) 1 0
) 0 1
sono ortogonali:
per nessun valore di ) R
solo per ) 1
* solo per ) 0
per ) #1
14 Dovendo scegliere tra l’operazione finanziaria A, caratterizzata dai flussi
£200, 220, 0, "50¤ alle scadenze annue £0, 1, 2, 3¤ e l’operazione finanziaria B,
caratterizzata dai flussi £0, 220, 242, "50¤ alle stesse scadenze, un soggetto che valuta
utilizzando il criterio del VAN al tasso annuo del 10%:
sceglie in ogni caso l’operazione A
non è in grado di scegliere tra le due operazioni
* è indifferente tra le due operazioni
sceglie in ogni caso l’operazione B
15 La funzione fŸx 3 x
x2
è:
pari
dispari
periodica
* definita su Ÿ0, .
16 Il limite lim xv.
4x 2 x3
x 2 2
vale:
1
2
1
*2
4
17 Un prestito di 6000 euro viene rimborsato in 3 anni attraverso il versamento di rate annue
secondo un ammortamento all’italiana con tasso di interesse annuo composto del 5%.
L’ammontare della terza rata è:
R 2000
R 2300
R 2200
* R 2100
47
18 Il dominio della funzione fŸx e
* D Ÿ"., 0¢ : ¡2, .
D Ÿ"., "2¢ : ¡0, .
D ¡"2, 0¢
D ¡2, .
x 2 "2x
è:
19 Lo sviluppo di Mac Laurin, arrestato al secondo ordine, della funzione fŸx e x sin x è:
fŸx 1 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 " 2x " 12 x 2 oŸx 2
* fŸx 1 2x 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 " 12 x 2 oŸx 2
20 Dato un impiego di 1500 euro in capitalizzazione semplice al tasso annuo del 5%, per
ottenere un montante pari al triplo della somma impiegata occorre un numero di anni pari a:
* t 40
t 10
t5
t 20
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.
48
Tema 13
Prova scritta del 5 giugno 2012
1 Nell’intervallo ¡2, 4¢ la funzione fŸx ln x " x ha:
né minimo né massimo
* un minimo in x 2 e un massimo in x 4
un massimo in x 4 e nessun minimo
un minimo in x 4 e un massimo in x 2
2 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
ŸL Q ´ ŸL P
P ´ ŸL Q
* ŸL Q ´ P
ŸL P ´ ŸL Q
3 Dato l’insieme X Ÿ"1, 0 : ¡0, 2¢ il punto x 2 è:
* di frontiera
isolato
esterno
interno
4 Secondo il Teorema di Weierstrass, una funzione continua su un sottoinsieme chiuso e
limitato del dominio:
è invertibile
è derivabile
* ha minimo globale e massimo globale
ha un punto di flesso
5 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi £"1000, 200, 200, 1000¤ alle
scadenze £0, 1, 2, 3¤ il suo TIR:
è minore del 4%
è uguale al 4%
non esiste
* è maggiore del 4%
49
6 La disequazione
x 08x 4
x t 08x u 4
*0 t x t 4
0x4
x 2 "4x
1
3
u 1 è verificata per:
7 In regime di capitalizzazione composta, il tasso trimestrale di interesse equivalente al tasso
annuo del 3% è:
i 3 0.03
3
i 3 3 1. 03 " 1
i 4 0.03
4
* i 4 4 1. 03 " 1
8 L’integrale definito ;
*
3
4
9
4
9
4
9
4
3
3
3
0
3
x dx vale:
3
3
3
9 Un prestito di 10000 euro viene rimborsato in 3 anni pagando rate semestrali posticipate
costanti. Se i calcoli vengono effettuati in capitalizzazione composta al tasso annuo di
interesse del 10%, l’ammontare di ciascuna rata è:
R a10000
0.10
3G
R
2
10000
a 6G 0.10
2
*R R
a 6G
a 3G
10000
10.10 "1
10000
10.10 "1
10 La funzione fŸx, y 12 x 2 y 3 " xy ha in Ÿ0, 0 :
un punto stazionario del quale non è possibile precisare la natura
* un punto di sella
un punto di minimo relativo
un punto di massimo relativo
50
2
11 Data la funzione fŸx, y e xy la sua matrice hessiana nel punto Ÿ"1, 1 vale:
2 fŸ"1, 1 2 fŸ"1, 1 2 fŸ"1, 1 * 2 fŸ"1, 1 12 I vettori x 1 2
2 4
1
"2
"2
6
1
"2
"2 "6
1 2
2 6
ey ) 1 0
) 0 1
sono ortogonali:
* solo per ) 0
per nessun valore di ) R
solo per ) 1
per ) #1
13 La funzione fŸx 3 x
x2
è:
periodica
pari
* definita su Ÿ0, .
dispari
14 L’equazione della retta tangente alla funzione fŸx x 2 " x 3 nel punto x 0 1 è:
y "x " 2
y "x 2
*y x2
y x"2
15 Un debito di 6000 euro viene rimborsato secondo un ammortamento all’italiana in 3 anni.
Se il tasso di interesse applicato è del 6% annuo composto, l’ultima rata è pari a:
R 2360
R 2000
* R 2120
R 2240
16 La funzione fŸx x"1
ha:
x8
solo asintoto orizzontale y 1
asintoto orizzontale y "8 e asintoto verticale x 1
* asintoto orizzontale y 1 e asintoto verticale x "8
solo asintoto verticale x "8
51
17 Un soggetto che valuta utilizzando il criterio del VAN sceglie:
l’operazione con VAN maggiore nel caso di investimenti e quella con VAN minore nel
caso di finanziamenti
in ogni caso l’operazione con VAN minore
l’operazione con VAN maggiore nel caso di finanziamenti e quella con VAN minore nel
caso di investimenti
* in ogni caso l’operazione con VAN maggiore
18 La funzione:
Ÿx a
2
" 1 se x 0
fŸx con ) R
logŸ1 x
se x u 0
è continua su tutto R:
solo per a 1
* per a #1
solo per a "1
per nessun valore di a
19 Un BOT del valore nominale di 3000 euro scade 3 mesi dopo l’emissione. Se il suo
rendimento annuo semplice è pari al 4%, il prezzo all’emissione è:
P 0 2960. 53
P 0 2586. 21
* P 0 2970. 30
P 0 2678. 57
20 Il dominio della funzione fŸx e
D Ÿ"., "2¢ : ¡0, .
D ¡2, .
* D Ÿ"., 0¢ : ¡2, .
D ¡"2, 0¢
x 2 "2x
è:
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange.
52
Tema 14
Prova scritta del 3 luglio 2012
1 La funzione:
Ÿx 2 1
2
) se x "1
fŸx con ) R
ex
2 "1
se x u "1
è continua su tutto R:
solo per ) 1
* solo per ) "3
per nessun valore di ) R
per ogni valore di ) R
2 Una rendita perpetua prevede il pagamento di rate annue posticipate di 300 euro ciascuna.
Se il tasso di interesse applicato è del 6% annuo, il montante di questa rendita:
300
è dato da M 10.06
300
è dato da M 0.06
Ÿ1 0. 06
* non esiste
300
è dato da M 0.06
2
3 La funzione fŸx e 4"x è strettamente concava:
* nell’intervallo "
2
2
2
2
,
su tutto R
negli intervalli "., "
2
2
e
2
2
, .
in nessun intervallo
4 Il grafico della funzione fŸx log
* P Ÿ3, 0
P " 13 , 0
P Ÿ"3, 0
P Ÿ1, 0
5 Data la funzione fŸx, y e x
fŸ1, "1 2 "1
fŸ1, "1 "2 1
fŸ1, "1 "2 "1
* fŸ1, "1 2 1
2 y
2x"1
x2
interseca l’asse delle ascisse nel punto:
il suo gradiente nel punto Ÿ1, "1 vale:
53
6 Un prestito di 10000 euro viene rimborsato in 5 anni secondo un ammortamento all’italiana
al tasso di interesse del 5% annuo composto. La terza rata è pari a:
R 2200
R 2000
R 2100
* R 2300
7 In regime di capitalizzazione composta, il tasso periodale i m equivalente al tasso di interesse
annuo i è dato da:
im m 1 " i 1
i m Ÿ1 i m " 1
i m Ÿ1 " i m 1
* im m 1 i " 1
8 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
P 7 ŸL Q
ŸL P ´ ŸL Q
ŸL Q ´ P
* ŸL P · Q
9 L’integrale definito ;
*
1
2
1 x
0 x 2 1
dx vale:
ln 2
ln 2
2 ln 2
ln 2
3
2
10 Un’operazione finanziaria prevede un’entrata di 2000 euro oggi, un esborso di 750 euro fra
1 anno e un altro esborso di 750 euro fra 2 anni. Ipotizzando che vi siano spese accessorie
pari a 100 euro, sostenute immediatamente, il tasso interno dell’operazione è il tasso x che
risolve l’equazione:
1900 " 750
" 750 2 0
1x
Ÿ1x
2000 "
* 2000
750
1
"
750
2
Ÿ1x 12
Ÿ1x 12
750
750
" 1x "
Ÿ1x 2
750
750
1900 "
Ÿ1x
1
12
"
Ÿ1x
2
12
0
0
0
54
11 La funzione fŸx, y x 3 y 2 2xy in R 2 ha:
un massimo e una sella
* un minimo e una sella
né minimo né massimo
un minimo e un massimo
12 Dati gli insiemi A Ÿ"., "5 e B Ÿ3, 4 , l’insieme ŸA : B
illimitato inferiormente
limitato
aperto
* illimitato superiormente
13 Il dominio della funzione fŸx 1
e
x 2 "1
C
è:
è:
DR
D R & £"1, 1¤
* D Ÿ"., "1¢ : ¡1, .
D Ÿ"., "1 : Ÿ1, .
14 Date le matrici:
1 0 0
A
0 1 1
B
) 1 0
0 0 1
1 0 0
il loro prodotto soddisfa la proprietà commutativa:
per nessun valore di )
per ogni valore di )
solo per ) 1
* solo per ) 0
15 Il limite xv.
lim
x"6 " x6
0 0 )
vale:
6
1
.
*0
55
)R
16 Un BOT del valore nominale di 3000 euro scadente 3 mesi dopo l’emissione viene
acquistato all’emissione al prezzo di 2800 euro e viene rivenduto dopo 1 mese al prezzo di
2850 euro. Il rendimento (tasso di interesse annuo semplice) ottenuto detenendo il titolo per
questo periodo è:
i 3000"2800
2800 1
12
*i i
i
2850"2800
1
2800 12
2850"2800
2
2800 12
3000"2800
2
2800 12
17 La funzione fŸx 13 x 3 " 32 x 2 2x in R ha:
* un punto di minimo locale in x 2 e un punto di massimo locale in x 1
un punto di minimo locale in x 1 e un punto di massimo locale in x 2
un punto di minimo locale in x 2 e nessun massimo locale
un punto di massimo locale in x 1 e nessun minimo locale
18 Data un’operazione finanziaria A caratterizzata dai flussi £"100, 130¤ alle scadenze annue
£0, 1¤ e un’operazione finanziaria B caratterizzata dai flussi £"100, 0, 130¤ alle scadenze
annue £0, 1, 2¤, sulla base del criterio del VAN con tasso annuo dell’8%:
è preferibile B
* è preferibile A
non è possibile scegliere tra A e B
vi è indifferenza tra A e B
19 La disequazione
xu1
x0
*x 0
xt1
4x"5
5x
3x è verificata per:
20 La derivata della funzione fŸx 2 "8x12
f U Ÿx 6x 6x"4
2
f U Ÿx 6x 8x"12
2
U
* f Ÿx
f U Ÿx
x 2 "3x
6x"4
, dove esiste, è:
Ÿ6x"4
2
6x "8x12
Ÿ6x"4 2
6x 2 "44x12
Ÿ6x"4 2
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema del confronto (o “dei due carabinieri”)
per i limiti.
56
Tema 15
Prova scritta del 4 settembre 2012
1 Lo sviluppo di Mac Laurin, arrestato al terzo ordine, della funzione fŸx e x " x 2 è:
fŸx 1 x 12 x 2 16 x 3 oŸx 3
fŸx 1 x " 12 x 2 " 16 x 3 oŸx 3
fŸx 1 x 12 x 2 " 16 x 3 oŸx 3
* fŸx 1 x " 12 x 2 16 x 3 oŸx 3
2 Data un’operazione finanziaria, il suo VAN calcolato ad un certo tasso i:
può non esistere, e se esiste può non essere unico
può non esistere, ma se esiste è unico
esiste sempre ma può non essere unico
* esiste sempre ed è unico
2
3 Data la funzione di due variabili fŸx, y e xy la sua matrice hessiana nel punto P Ÿ"1, 1
è data da:
2 fŸ"1, 1 * 2 fŸ"1, 1 2 fŸ"1, 1 2 fŸ"1, 1 1 2
2 4
1 2
2 6
1
"2
"2 "6
1
"2
"2
6
4 Il dominio della funzione fŸx Ÿ4x
D Ÿ"., "1¢ : ¡1, .
D Ÿ"., "1 : Ÿ1, .
* D Ÿ1, .
D ¡1, .
ln x 2 "1
è dato da:
5 Una funzione f : X – R v R ha una discontinuità di tipo “salto” in x 0 quando:
* xvx
lim" fŸx p lim fŸx ed entrambi i limiti esistono finiti
0
xvx 0
lim fŸx lim fŸx #.
xvx "0
xvx 0
lim fŸx lim fŸx p fŸx 0
xvx "0
xvx 0
uno almeno dei limiti xvx
lim" fŸx e lim fŸx non esiste
0
xvx 0
57
6 L’integrale definito ;
7
3
3
0
1 x dx vale:
3
18
* 143
7 La funzione fŸx xe x è strettamente convessa su:
* I Ÿ"2, .
I Ÿ0, .
tutto R
I ¡"2, .
8 Se il montante in regime di interessi semplici di una somma pari a 2000 dopo 5 anni e 9
mesi vale 3200, il tasso di interesse annuo vale:
i 0. 075
i 0. 0652
i 0. 0852
* i 0. 1043
9 Date le matrici:
A
2
1 "1 0
2
0
B
1
3 1
"1 0 1
0
1 2
il prodotto AB:
è dato dalla matrice C 2
"3 0
"2
0
1
non si può calcolare
è dato dalla matrice C * è dato dalla matrice C 1 3 2
4 7 4
3 3 0
4 7 4
10 Sia f : X – R v R una funzione pari. Indicando con G f il grafico di tale funzione si ha
allora:
Ÿx, y G f ´ Ÿx, "y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿy, x G f
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, "y G f
* Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, y G f
58
11 La derivata della funzione fŸx x 1 x , dove è definita, è:
f U Ÿx 2x3
2 1x
2x"3
2 1x
3x"2
2 1x
3x2
2 1x
f U Ÿx f U Ÿx
* f U Ÿx
12 La disequazione |x 2 " 1| u "1 è verificata per:
x t "1 8 x u 1
" 2 txt 2
nessun x R
* ogni x R
13 Un BOT del valore nominale di 2000 euro, scadente tra 6 mesi, fornisce un rendimento
annuo semplice del 3%. Il suo prezzo di acquisto è pari a:
2000
P 10.036
P 2000 6
P
*P
Ÿ10.03
2000
6
Ÿ10.03 12
2000
10.03
6
12
14 Dati gli insiemi A Ÿ"3, 3¢ e B ¡0, 4 il complementare in R dell’insieme ŸA 9 B è:
Ÿ"., 0¢ : ¡3, .
Ÿ"., "3¢ : ¡4, .
* Ÿ"., 0 : Ÿ3, .
Ÿ"., "3 : Ÿ4, .
15 Un prestito di 5000 euro viene rimborsato attraverso il versamento di 5 rate annuali. Nel
caso di ammortamento all’italiana con tasso di interesse del 3% annuo composto, la terza
rata è pari a:
R 1030
* R 1090
R 1000
R 1060
59
16 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
P ´ ŸL Q
P 7 ŸL Q
P 8 ŸL Q
* ŸL P ´ Q
17 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi £1000, "100, "100, "1000¤ alle
scadenze £0, 1, 2, 3¤ il suo TIR:
è maggiore del 10%
non esiste
* è minore del 10%
è uguale al 10%
18 In regime di capitalizzazione composta, il tasso trimestrale di interesse equivalente al tasso
annuo del 3% è:
* i 4 4 1. 03 " 1
i 4 0.03
4
i 3 0.03
3
i 3 3 1. 03 " 1
19 Il limite lim xv.
1
*0
.
".
20 I vettori x sin x
x
vale:
) 1 0
ey ) 0 1
sono ortogonali:
solo per ) 1
* solo per ) 0
per nessun valore di ) R
per ) #1
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di unicità del limite.
60
Tema 16
Prova scritta del 22 gennaio 2013
1 Il limite lim x
xv0
1
x
3 vale:
.
3
1
*0
2 Dato l’insieme X Ÿ"., "3 9 Ÿ"4, "2 il punto x "4 è:
interno
* di frontiera
esterno
isolato
3 La funzione fŸx |x| 2x è:
dispari
pari
* definita su R &£0¤
positiva su tutto il dominio
4 La funzione fŸx x4
è strettamente convessa:
x"1
su tutto R
* sull’intervallo Ÿ1, .
sull’intervallo Ÿ"1, 1
sull’intervallo Ÿ"., 1
5 La primitiva della funzione fŸx e x passante per il punto P Ÿ1, 0 è:
FŸx 2e x Ÿ x " 1 3
FŸx e x Ÿ x " 1 2
FŸx e x Ÿ x " 1
* FŸx 2e x Ÿ x " 1
6 In capitalizzazione semplice, il tasso di interesse annuo equivalente al tasso trimestrale del
4% è:
* i 0. 16
i 0. 12
i 0. 1249
i 0. 1699
61
7 Un BOT del valore nominale di 1000 euro, scadente 3 mesi dopo l’emissione, viene
acquistato all’emissione al prezzo di 980 euro e viene rivenduto dopo 1 mese al prezzo di
990 euro. Il rendimento realizzato detenendo il titolo per questo periodo è:
i 0. 1212
* i 0. 1224
i 0. 0612
i 0. 0606
8 La funzione di due variabili fŸx, y x 2 2y 2 :
non ha punti stazionari
ha una sella nell’origine e nessun minimo né massimo
* ha un minimo (relativo) nell’origine e nessun massimo
ha un massimo (relativo) nell’origine e nessun minimo
9 Il TIR (Tasso Interno di Rendimento) di un’operazione finanziaria:
esiste sempre ed è unico
* può non esistere e se esiste può non essere unico
esiste sempre ma può non essere unico
può non esistere ma se esiste è unico
x 2 "4x
10 La disequazione 13
t 1 è verificata per:
2" 5 t x t 2 5
0txt4
*x t 08x u 4
x t 2" 5 8x u 2 5
11 Un debito di 10000 euro viene rimborsato in 4 anni secondo un ammortamento all’italiana.
Se il tasso di interesse è del 5% annuo composto, la seconda rata è pari a:
R 2500
R 2750
* R 2875
R 3000
12 Il vettore:
)
x
1
3
ha norma unitaria:
per ) "3 oppure ) 3
per ) "1 oppure ) 1
per ) 0
* per nessun valore di ) R
62
13 Lo sviluppo di Mac Laurin, arrestato al secondo ordine, della funzione fŸx fŸx 1 x 12 x 2 oŸx 2
* fŸx 1 " x " 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 " x 12 x 2 oŸx 2
fŸx 1 x " 12 x 2 oŸx 2
1 " 2x è:
14 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
* ŸL P · Q
ŸL P · ŸL Q
Q´P
P ´ ŸL Q
15 Nel regime di capitalizzazione semplice con tasso annuo di interesse del 5%, un capitale
iniziale di ammontare C raddoppia in:
t 5 anni
* t 20 anni
t 10 anni
t 40 anni
16 Il dominio della funzione fŸx x2
x "2
è dato da:
* D ¡0, 4 : Ÿ4, .
D ¡0, .
D Ÿ0, .
D Ÿ0, 4 : Ÿ4, .
17 Dovendo scegliere tra l’operazione finanziaria A, caratterizzata dai flussi
£"1000, 100, 1100¤ alle scadenze annue £0, 1, 2¤ e l’operazione finanziaria B,
caratterizzata dai flussi £"1000, 1200¤ alle scadenze annue £0, 2¤ un soggetto che valuta
utilizzando il criterio del VAN al tasso annuo del 5%:
è indifferente tra le due operazioni
sceglie in ogni caso l’operazione B
* sceglie in ogni caso l’operazione A
non è in grado di scegliere tra le due operazioni
63
18 Una funzione f : X – R v R ha una discontinuità eliminabile in un punto x 0 X se:
* xvx
lim" fŸx lim fŸx ma questi limiti sono diversi da fŸx 0
0
xvx 0
almeno uno dei due limiti xvx
lim" fŸx e lim fŸx non esiste
0
xvx 0
lim fŸx p lim fŸx ed entrambi questi limiti sono finiti
xvx "0
xvx 0
almeno uno dei due limiti xvx
lim" fŸx e lim fŸx vale o.
0
19 Il grafico della funzione fŸx log
P Ÿ"3, 0
P " 13 , 0
P Ÿ1, 0
* P Ÿ3, 0
xvx 0
2x"1
x2
interseca l’asse delle ascisse nel punto:
20 Data una funzione f : X – R v R, si chiama punto critico (o stazionario) un punto x ' tale
che:
* f U Ÿx ' 0
UU
f Ÿx ' 0
f ha un massimo in x '
f ha un minimo in x '
Domanda aperta: Enunciare le definizioni di derivabilità e differenziabilità per una funzione
f : X – R v R e dimostrare che queste due nozioni sono equivalenti.
64
Tema 17
Prova scritta del 5 febbraio 2013
1 Date le funzioni fŸx 3 x 1 e gŸt t 3 1 la funzione composta f ( g è data da:
fŸgŸt
3 t3 1 1
fŸgŸt
t1
* fŸgŸt
3 t3 2
fŸgŸt
t2
2 La funzione fŸx, y x 3 y 2 2xy in R 2 ha:
* un minimo e una sella
un minimo e un massimo
né minimo né massimo
un massimo e una sella
3 La funzione fŸx 4x
3x 3 2x
è:
dispari
definita solo su Ÿ0, .
* pari
definita su tutto R
4 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
ŸL P ´ ŸL Q
ŸL Q ´ ŸL P
P ´ ŸL Q
* ŸL Q ´ P
5 Due operazioni finanziarie della stessa natura sono caratterizzate da valore attuale netto pari,
rispettivamente, a 1000 euro per l’operazione A e a 1500 euro per l’operazione B.
Dovendo scegliere tra le due operazioni:
si sceglie in ogni caso l’operazione A
* si sceglie in ogni caso l’operazione B
si sceglie l’operazione A se si tratta di finanziamenti e l’operazione B se si tratta di
investimenti
si sceglie l’operazione A se si tratta di investimenti e l’operazione B se si tratta di
finanziamenti
65
3
6 L’integrale definito ; xe x dx vale:
1
e3
3e 3
* 2e 3
4e 3
7 I vettori x ey 1 ) 2
1 ) 0
sono ortogonali:
solo per ) "1
per ogni valore di ) R
* per nessun valore di ) R
solo per ) 0
8 Data la funzione fŸx 1"4x
2 x
dy e "2x * dy 3 3 x2
1"2x
2 x
dy e "2x dy 1"6x
e "2x 1"3x
e "2x 3 3 x2
3
x e "2x il suo differenziale è:
dx
dx
dx
dx
9 Un BOT del valore nominale di 2000 euro, scadente tra 6 mesi, fornisce un rendimento
annuo semplice del 3%. Il suo prezzo di acquisto è pari a:
P 2000 6
*P
Ÿ10.03
2000
10.03
6
12
2000
P
P
6
Ÿ10.03 12
2000
10.036
10 Il dominio della funzione fŸx x3
logŸx2
è:
D Ÿ"2, .
D ¡"2, "1 : Ÿ"1, .
* D Ÿ"2, "1 : Ÿ"1, .
D ¡"2, .
11 Dato un impiego di 1500 euro in capitalizzazione semplice al tasso annuo del 5%, per
ottenere un montante pari al triplo della somma impiegata occorre un numero di anni pari a:
t 10
* t 40
t5
t 20
66
12 Un prestito di 5000 euro viene rimborsato attraverso il versamento di 5 rate annuali. Nel
caso di ammortamento all’italiana con tasso di interesse del 3% annuo composto, la terza
rata è pari a:
R 1000
R 1030
R 1060
* R 1090
13 La disequazione log 1 Ÿx 2 8 "2 è verificata per:
3
"1 t x t 1
* x "1 8 x 1
x t "1 8 x u 1
"1 x 1
14 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi £"1000, 300, 400, 500¤ alle scadenze
£0, 1, 2, 3¤, il suo TIR:
è minore del 5%
* è maggiore del 5%
non esiste
è uguale al 5%
15 La funzione fŸx 2 ln x " x 2 sul proprio dominio:
è strettamente convessa
non è né concava né convessa
ha un punto di flesso
* è strettamente concava
16 Dati gli insiemi A Ÿ"., 0 e B Ÿ"1, 2¢ l’insieme X ŸA 9 B
X Ÿ"1, 0
X Ÿ"., 2¢
X Ÿ2, .
* X Ÿ"., "1¢ : ¡0, .
17 Il limite lim xv.
2 x ln x3
3 x x 3 2
vale:
*0
.
2
3
3
2
67
c
è:
18 La funzione:
e x"1 "1
x"1
se x p 1
x)
se x 1
fŸx è continua su tutto R:
* per qualsiasi valore di ) R
solo per ) 0
solo per ) 1
per nessun valore di ) R
19 L’equazione della retta tangente alla funzione fŸx x 2 e x nel punto x 0 1 è:
y 3ex 2e
y 3ex e
* y 3ex " 2e
y 3ex 4e
20 Una rendita prevede il versamento di 3 rate annue posticipate di 1500 euro ciascuna. Se il
tasso di interesse applicato è del 4% annuo composto, il valore attuale di questa rendita è:
A 4329. 14
A 4869. 70
A 4682. 40
* A 4162. 64
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange, fornendone anche
un’interpretazione geometrica.
68
Tema 18
Prova scritta del 4 giugno 2013
1 Si versano, iniziando fra un mese, 12 rate mensili di importo costante pari a 200 euro. Se il
tasso di interesse mensile effettivo è pari all’1. 5%, il montante in capitalizzazione composta
disponibile tra un anno è pari a:
M 200 * M 200 M 200 M 200 1"Ÿ10.015
"12
0.015
10.015
Ÿ10.015 12 "1
0.015
1"Ÿ10.015 "12
0.015
Ÿ10.015 12 "1
0.015
10.015
2 Dati gli insiemi A Ÿ"2, 1¢ e B Ÿ"1, 3 per l’insieme X ŸA : B
di frontiera
* esterno
isolato
interno
c
il punto x "1 è:
2
3 La funzione fŸx xe " x ammette:
solo asintoto verticale sinistro x 0
* asintoto verticale sinistro x 0 e asintoto obliquo y x " 2
asintoto verticale sinistro x 0 e asintoto obliquo y x 2
solo asintoto obliquo y x " 2
4 La derivata della funzione fŸx log 2x 2 nel punto x 0 1 vale:
1
6
1
5
1
2
*
1
4
5 I vettori: x 2 4 0
,y ez 4 6 0
indipendenti:
per nessun valore di ) R
per ) 0
* per ) p 0
per ogni valore di ) R
69
2 2 )
sono linearmente
6 La funzione fŸx x4
è strettamente convessa:
x"1
sull’intervallo Ÿ"., 1
* sull’intervallo Ÿ1, .
sull’intervallo Ÿ"1, 1
su tutto R
7 Il limite lim
xv0
sin 2 x
sin x
vale:
0
1
2
*2
1
8 Il dominio della funzione di due variabili fŸx, y D £Ÿx, y
D £Ÿx, y
* D £Ÿx, y
D £Ÿx, y
xy
lnŸxy
è:
R 2 : Ÿx 0 7 y 0 8 Ÿx 0 7 y 0 ¤
R 2 : ŸŸx 0 7 y 0 8 Ÿx 0 7 y 0 7 y 1x ¤
R 2 : ŸŸx 0 7 y 0 8 Ÿx 0 7 y 0 7 y p 1x ¤
R 2 : Ÿx u 0 7 y u 0 8 Ÿx t 0 7 y t 0 ¤
9 Un’operazione finanziaria è caratterizzata dai flussi £"1000, 300, 400, 500¤ alle scadenze
£0, 1, 2, 3¤. Il suo TIR è la soluzione dell’equazione:
" 1000
300 2 400 3 500 4 0
1x
Ÿ1x
Ÿ1x
Ÿ1x
"1000 300 Ÿ1 x 400 Ÿ1 x
* "1000 300
400 2 500 3 0
1x
Ÿ1x
Ÿ1x
1000 " 300 Ÿ1 x " 400 Ÿ1 x
10 La disequazione
0txt3
*0 x 3
x t 08x u 3
x 08x 3
3
4
x 2 "3x
2
2
500 Ÿ1 x
" 500 Ÿ1 x
3
3
0
0
1 è verificata per:
11 Date due operazioni finanziarie, un soggetto che decide in base al criterio del Valore Attuale
Netto:
sceglie l’operazione con VAN maggiore nel caso di finanziamenti e quella con VAN
minore nel caso di investimenti
sceglie in ogni caso l’operazione con VAN minore
sceglie l’operazione con VAN maggiore nel caso di investimenti e quella con VAN
minore nel caso di finanziamenti
* sceglie in ogni caso l’operazione con VAN maggiore
70
12 Un debito di 10000 euro viene rimborsato secondo un ammortamento all’italiana in 5 anni.
Se il tasso di interesse applicato è del 4% annuo composto, l’ultima rata è pari a:
R 2900
R 2600
* R 2080
R 2400
13 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
F
F F
V
corrisponde all’espressione:
* L ŸL P 7 Q
L ŸP ´L Q
Q ´ ŸL P
L ŸL P 8 Q
14 La primitiva della funzione fŸx x ln x passante per il punto A Ÿ1, 0 è:
* FŸx 12 x 2 ln x " 14 x 2 14
FŸx 12 x 2 ln x " 14 x 14
FŸx 12 x 2 ln x " 14 x 2 " 14
FŸx 12 x 2 ln x 14 x " 14
15 Un BOT del valore nominale di 3000 euro scade 3 mesi dopo l’emissione. Se il suo
rendimento annuo semplice è pari al 4%, il prezzo all’emissione è:
P 0 2586. 21
P 0 2678. 57
P 0 2960. 53
* P 0 2970. 30
16 Data la funzione fŸx punto x 0 1 è:
* y 52 x " 12
y 32 x 12
y 32 x " 12
y 52 x 12
x x 2 l’equazione della retta tangente a fŸx in corrispondenza del
71
17 Date le funzioni fŸx log x e gŸt e t1 la funzione composta g ( f è:
gŸfŸx
x 1 per x 0
* gŸfŸx
xe per x 0
gŸfŸx
x 1 x
gŸfŸx
xe x
18 In regime di capitalizzazione composta, il tasso di interesse trimestrale equivalente al tasso
annuo del 4% è dato da:
i 3 3 1 0. 04 " 1
i 4 4 1 0. 04 1
* i 4 4 1 0. 04 " 1
i 3 3 1 0. 04 1
19 Il dominio della funzione fŸx 1
xe
x 2 "9
è:
* D Ÿ"., "3¢ : ¡3, .
D Ÿ"., "3 : Ÿ"3, 0 : Ÿ0, 3 : Ÿ3, .
D Ÿ"., "3¢ : £0¤ : ¡3, .
D Ÿ"., "3 : Ÿ3, .
20 Sia f : X – R v R una funzione dispari. Indicando con G f il grafico di tale funzione si ha
allora:
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, y G f
* Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, "y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿx, "y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿy, x G f
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema del confronto (o “dei due carabinieri”)
per i limiti.
72
Tema 19
Prova scritta del 9 luglio 2013
1 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi £1000, "100, "100, "1000¤ alle
scadenze £0, 1, 2, 3¤ il suo TIR:
è maggiore del 10%
è uguale al 10%
* è minore del 10%
non esiste
2 Un finanziamento di 2000 euro viene rimborsato pagando dopo 4 mesi la somma di 100
euro e dopo 1 anno la somma di 2100 euro. Se vi sono spese accessorie pari a 50 euro da
pagare al momento della concessione del finanziamento, il TAEG è il tasso x che risolve
l’equazione:
1950 " 100 1 " 2100
0
1x
Ÿ1x 4
100
Ÿ1x 13
* 1950 " 100 1
Ÿ1x 3
2000 " 100 1
Ÿ1x 4
2000 "
2100
1x
"
2100
1x
"
2100
1x
"
0
0
0
3 La funzione fŸx 13 x 3 " 32 x 2 2x in R ha:
* un punto di minimo locale in x 2 e un punto di massimo locale in x 1
un punto di minimo locale in x 2 e nessun massimo locale
un punto di massimo locale in x 1 e nessun minimo locale
un punto di minimo locale in x 1 e un punto di massimo locale in x 2
1
4 L’integrale definito ; x 2 e 2x dx vale:
*
0
1
4
e 2 " 14
1 4
e " 14
4
5 2
e " 14
4
5 4
e " 14
4
5 La matrice hessiana della funzione fŸx, y logŸx 2y nel punto P Ÿ1, 0 è:
* 2 fŸ1, 0 2 fŸ1, 0 2 fŸ1, 0 2 fŸ1, 0 "1 "2
"2 "4
"1 "2
2
4
1
2
"2 "4
1 2
2 4
73
6 Il dominio della funzione fŸx lnŸ4 " e "x è dato da:
D Ÿ"., " ln 4¢
* D Ÿ" ln 4, .
D ¡" ln 4, .
D Ÿ"., " ln 4
7 Dati due insiemi A e B, il complementare della loro unione ŸA : B c è uguale:
* all’intersezione dei complementari di A e B, cioè A c 9 B c
all’unione dei complementari di A e B, cioè A c : B c
alla differenza insiemistica dei complementari di A e B, cioè A c & B c
alla differenza insiemistica dei complementari di B e A, cioè B c & A c
8 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
V
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
ŸL Q ´ ŸL P
P 7 ŸL Q
ŸL P · Q
* ŸL Q ´ P
9 Il limite xv.
lim
x"6 " x6
vale:
.
6
*0
1
10 I vettori x ) 1 2
ey hanno uguale norma:
1 0 2
* solo per ) 0
per ) #1
per nessun valore di ) R
solo per ) 1
11 Un prestito di 2000 euro viene rimborsato pagando dopo 1 anno la somma di 1200 euro,
dopo 2 anni la somma di 600 euro e dopo 3 anni l’ammontare R. Nell’ipotesi che il tasso
applicato sia pari al 10% annuo composto, l’ammontare pagato al terzo anno è:
R 220
R 616
R 200
* R 550
74
12 Se il montante in regime di interessi semplici di una somma pari a 2000 dopo 5 anni e 9
mesi vale 3200, il tasso di interesse annuo vale:
i 0. 0652
i 0. 0852
i 0. 075
* i 0. 1043
13 Lo sviluppo di Mac Laurin, arrestato al terzo ordine, della funzione fŸx * fŸx 1 x " 12 x 2 12 x 3 oŸx 3
fŸx "1 x 12 x 2 12 x 3 oŸx 3
fŸx 1 " x " 12 x 2 " 12 x 3 oŸx 3
fŸx 1 x 12 x 2 12 x 3 oŸx 3
14 La funzione fŸx 1 2x è:
ln x
x3
non interseca gli assi cartesiani
interseca l’asse delle ordinate nel punto A Ÿ0, 1 mentre non interseca l’asse delle
ascisse
interseca l’asse delle ascisse nel punto A Ÿ1, 0 e l’asse delle ordinate nel punto
B Ÿ0, 1
* interseca l’asse delle ascisse nel punto A Ÿ1, 0 mentre non interseca l’asse delle
ordinate
15 Una rendita prevede il versamento di rate perpetue annue posticipate di 300 euro ciascuna.
Se il tasso di interesse applicato è del 3% annuo composto, il valore attuale di questa rendita
è:
A 10100
A 10200
* A 10000
A 10300
16 Sia f : A – R v R una funzione invertibile e sia f "1 la sua inversa. Si ha allora:
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, "y G f "1
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, y G f "1
* Ÿx, y G f ´ Ÿy, x G f "1
Ÿx, y G f ´ Ÿ"y, "x G f "1
75
17 La funzione:
Ÿx 2 1
2
) se x "1
fŸx con ) R
e
x 2 "1
se x u "1
è continua su tutto R:
per nessun valore di ) R
solo per ) 1
per ogni valore di ) R
* solo per ) "3
18 La disequazione |x 2 " 4| t x " 2 è verificata per:
"2 x 2
x t "2 8 x u 2
nessun x R
*x 2
19 Un BOT del valore nominale di 1000 euro, scadente 3 mesi dopo l’emissione, viene
acquistato all’emissione al prezzo di 980 euro e viene rivenduto dopo 1 mese al prezzo di
990 euro. Il rendimento realizzato detenendo il titolo per questo periodo è:
* i 990"980
980 1
12
i
i
i
1000"980
1
1000 12
1000"980
1
980 12
990"980
1
990 12
20 La derivata della funzione fŸx 2
* f U Ÿx 6x "8x12
2
f U Ÿx f U Ÿx f U Ÿx x 2 "3x
6x"4
, dove esiste, è:
Ÿ6x"4
6x 2 "8x12
6x"4
6x 2 8x"12
Ÿ6x"4 2
6x 2 "44x12
Ÿ6x"4 2
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Fermat.
76
Tema 20
Prova scritta del 3 settembre 2013
1 Data un’operazione finanziaria A caratterizzata dai flussi £"100, 130¤ alle scadenze annue
£0, 1¤ e un’operazione finanziaria B caratterizzata dai flussi £"100, 0, 130¤ alle scadenze
annue £0, 1, 2¤, sulla base del criterio del VAN con tasso annuo dell’8%:
* è preferibile A
è preferibile B
non è possibile scegliere tra A e B
vi è indifferenza tra A e B
2 In regime di capitalizzazione a interessi anticipati, il tasso di sconto trimestrale equivalente
al tasso annuo del 6% è:
d 4 4 1 0. 06 " 1
* d 4 0.06
4
d 3 3 1 0. 06 " 1
d 3 0.06
3
3 La funzione fŸx, y xe x y 2 nel punto A Ÿ"1, 0 ha:
un punto stazionario di cui non è possibile precisare la natura
una sella
* un minimo locale
un massimo locale
4 La condizione di chiusura finanziaria iniziale di un ammortamento stabilisce che il valore
del debito complessivo:
* è uguale alla somma delle rate scontate
è uguale alla somma delle quote di capitale
è uguale alla somma delle rate
è uguale alla somma delle rate capitalizzate
5 La tavola di verità:
P Q Espressione
V V
F
V F
V
F V
V
F F
F
corrisponde all’espressione:
* ŸL P · Q
P ´ ŸL Q
ŸL P · ŸL Q
Q´P
77
6 Una rendita prevede il versamento di rate perpetue annue anticipate di 300 euro ciascuna. Se
il tasso di interesse applicato è del 3% annuo composto, il valore attuale di questa rendita è:
A 10200
A 10000
* A 10300
A 10100
7 Il dominio della funzione fŸx 3x
logŸx"3
è dato da:
D Ÿ"., 0 : Ÿ4, .
* D Ÿ4, .
D Ÿ"., 0¢ : ¡4, .
D ¡4, .
8 Data la funzione fŸx * dy e "2x 1"6x
3
dx
3 3 x2
dy e "2x 1"2x
2 x
dx
dy e "2x 1"4x
2 x
dx
dy e "2x x e "2x il suo differenziale è:
1"3x
dx
3 3 x2
9 Date le matrici:
A
) 1
1 0
B
1 0
0 1
il loro prodotto soddisfa la proprietà commutativa per:
nessun ) R
* ogni ) R
)1
)0
3"x
10 La funzione fŸx e 1"x interseca gli assi cartesiani:
sia nel punto A Ÿ0, e 3 sia nel punto B Ÿ1, 0
sia nel punto A Ÿ0, e 2 sia nel punto B Ÿ1, 0
* solo nel punto A Ÿ0, e 3
solo nel punto A Ÿ0, e 2
11 Dato l’insieme X Ÿ"., "3 9 Ÿ"4, "2 il punto x "4 è:
interno
* di frontiera
isolato
esterno
78
con ) R
12 La funzione fŸx x 1 " 2x sull’intervallo ¡0, 1¢:
ha un minimo in x 161 e un massimo in x 0
ha un minimo in x 161 e un massimo in x 1
* ha un massimo in x 161 e un minimo in x 1
ha un massimo in x 161 e un minimo in x 0
13 Un BOT di durata semestrale e valore nominale 5000 euro viene acquistato all’emissione al
prezzo di 4800 euro e viene rivenduto 2 mesi prima della scadenza al prezzo di 4900 euro.
Detenendo il titolo per questo periodo, il rendimento annuo i realizzato è:
i 5000"4800
4800 4
12
5000"4800
2
4800 12
4900"4800
2
4800 12
i 4900"4800
4
4800 12
i
i
*
14 L’integrale definito ;
1
2
2 x
0 x 2 1
dx vale:
* ln 5
2 ln 5
1
ln 10
2
2 ln 10
15 La funzione:
e x )x se x 0
fŸx con ) R
x 2 " 2x se x u 0
è continua su tutto R per:
* nessun ) R
ogni ) R
)1
) "1
16 Il limite:
x
lim sin
x
xv.
vale:
*0
1
".
.
79
17 Sia f : X – R v R una funzione pari. Indicando con G f il grafico di tale funzione si ha
allora:
Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, "y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿx, "y G f
* Ÿx, y G f ´ Ÿ"x, y G f
Ÿx, y G f ´ Ÿy, x G f
18 La disequazione x 1 u
"2 t x t
x 2 è verificata per:
"1 5
2
"1 5
2
"1" 5
"1 5
x t 2 8x u 2
"1" 5
"1 5
txt 2
2
*x u
19 La funzione fŸx 3xe x è strettamente convessa sull’intervallo:
* I Ÿ"2, .
I Ÿ"., "2
I Ÿ"., "2¢
I ¡"2, .
20 Un’operazione finanziaria prevede un’entrata di 2000 euro oggi, un esborso di 750 euro fra
1 anno e un altro esborso di 750 euro fra 2 anni. Ipotizzando che vi siano spese accessorie
pari a 100 euro, sostenute immediatamente, il tasso interno dell’operazione è il tasso x che
risolve l’equazione:
1900 " 750 1 " 750 2 0
Ÿ1x 12
Ÿ1x 12
750
750
"
0
1x
Ÿ1x 2
" 750
" 750 2 0
1x
Ÿ1x
750
750
2000 "
* 1900
2000 "
Ÿ1x
1
12
"
Ÿ1x
2
12
0
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.
80
Tema 21
Prova scritta del 28 gennaio 2014
1 Data la funzione di due variabili:
fŸx, y log
x2 y2 1
la sua derivata parziale rispetto alla variabile x è:
f
2 x2
x
x y 1
f
x 2 y2x2 1
x
f
* x x 2 yx2 1
f
2 2x2
x
x y 1
2 Il dominio della funzione:
fŸx è dato da:
DR
D ¡"3, .
D "., " 3 :
* D "3, " 3 :
x 3 x2 " 3
3 , .
3 , .
3 Un prestito di 6000 euro viene rimborsato pagando tra 1 anno la somma di 2000 euro, tra 2
anni la somma di 1500 euro e tra 3 anni la somma R. Se il tasso di interesse applicato è del
10% annuo, la somma R è pari a:
R 2500
R 3900
R 3560
* R 3916
4 In regime di capitalizzazione semplice con tasso di interesse annuo del 5%, il tempo
necessario affinché un capitale C raddoppi è pari a:
t 10 anni
t 40 anni
* t 20 anni
t 5 anni
81
5 Date le funzioni:
fŸx log x
la funzione composta f ( g è data da:
fŸgŸt
logŸt 1 per ogni t
* fŸgŸt
logŸt 1 per t "1
fŸgŸt
log t 1 per ogni t
fŸgŸt
log t 1 per t 0
gŸt t 1
6 Data l’operazione finanziaria A caratterizzata dai flussi Ÿ"100, 10, 121 alle scadenze annue
Ÿ0, 1, 2 e l’operazione finanziaria B caratterizzata dai flussi Ÿ"100, 0, 140 alle scadenze
annue Ÿ0, 1, 2 , un soggetto che valuta in base al criterio del VAN con tasso annuo i 10%:
è indifferente tra le due operazioni
* sceglie in ogni caso l’operazione B
sceglie l’operazione A oppure l’operazione B a seconda della sua ricchezza iniziale
sceglie in ogni caso l’operazione A
7 Data la funzione:
fŸx logŸ1 e x
l’equazione della retta tangente a fŸx in corrispondenza del punto x 0 1 è:
e
e
y 1e
x logŸ1 e 1e
1
y 1e
x logŸ1 e
e
y 1e x logŸ1 e
e
e
* y 1e
x logŸ1 e " 1e
8 La disequazione:
log 1 Ÿx 3 u 0
2
è verificata per:
"3 t x t "2
* "3 x t "2
x "3
x u "2
9 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi Ÿ"1000, 100, 100, 1200 alle scadenze
annue Ÿ0, 1, 2, 3 , il suo TIR:
non esiste
è minore del 5%
è uguale al 5%
* è maggiore del 5%
82
10 Il limite:
3
lim x " 1
xv1 log x
vale:
.
1
*3
0
11 L’integrale definito:
2
;1
e
x
x
dx
vale:
e 2 "1
2e 2 " 1
e 2 "e
* 2e 2 " 2e
12 Dati gli insiemi:
A Ÿ"., 0¢
per l’insieme X A 9 B il punto x 0 è:
interno
isolato
esterno
* di frontiera
B Ÿ"2, 4
13 Un BOT del valore nominale di 3000 euro, scadente 6 mesi dopo l’emissione, fornisce un
rendimento annuo semplice del 3%. Il suo prezzo di acquisto al momento dell’emissione è
pari a:
* P 2955, 67
P 2500
P 2926, 83
P 2542, 37
14 Il vettore:
)
x
0
1
ha norma unitaria:
per ) #1
solo per ) 1
* solo per ) 0
per nessun valore di )
83
15 La funzione:
x 1 se x 0
fŸx ex
se x u 0
nel punto x 0 0:
* è continua
ha una discontinuità eliminabile
ha una discontinuità di seconda specie
ha una discontinuità di prima specie (“salto”)
16 Data la funzione:
log x
x
1
nell’intervallo ¡ e , 3e¢ i punti di minimo x m e di massimo x M sono rispettivamente:
x m non esiste e x M e
x m e e x M non esiste
* x m 1e e x M e
x m 3e e x M e
fŸx Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Lagrange, fornendone anche
un’interpretazione geometrica.
84
Tema 22
Prova scritta del 10 giugno 2014
1 L’integrale definito:
1
;0
x dx
x2 1
vale:
2 log 2
3
log 2
2
1
* 2 log 2
log 2
2 Data l’operazione finanziaria caratterizzata dai flussi £"1000, 200, 200, 1000¤ alle
scadenze £0, 1, 2, 3¤ il suo TIR:
non esiste
è uguale al 4%
* è maggiore del 4%
è minore del 4%
3 La funzione:
2) 5x
fŸx x 3
x1
se
se 1 t x t 4
x 2 " 22* se
con ), * R
x4
è continua su tutto R per:
nessun valore di ) e *
) 12 e * " 12
ogni valore di ) e *
* ) " 12 e * 12
4 La funzione di due variabili:
fŸx, y 4 x 3 1 y 2 " x y
3
2
ha:
un massimo in 12 , "1
un massimo in " 12 , "1
* un minimo in 12 , "1
un massimo in 12 , "1
e una sella in " 12 , "1
e un minimo in 12 , "1
e una sella in " 12 , "1
e un minimo in " 12 , "1
85
5 Dati gli insiemi:
A Ÿ"., 0¢
per l’insieme X A 9 B il punto x 0 è:
interno
esterno
* di frontiera
isolato
B Ÿ"3, 5
6 La funzione:
fŸx x 3 " 2x 2 x 6
nell’intervallo 0,
1
2
ha:
un massimo in x 13 ma nessun minimo
* un minimo in x 0 e un massimo in x 13
un minimo in x 12 e un massimo in x 13
un minimo in x 1 e un massimo in x 13
7 Data la funzione:
fŸx log x
l’equazione della retta tangente a fŸx in corrispondenza del punto x 0 1 è:
y 12 x 12
y " 12 x " 12
* y 12 x " 12
y " 12 x 12
8 Date le funzioni:
fŸx |x " 2|
la funzione composta z g ( f è data da:
* zŸx log|x " 2| x p 2
zŸx log|x " 2| x h
zŸx |logŸx " 2| x 0
zŸx |logŸx " 2 | x 2
gŸt log t
9 Il limite:
lim
xv.
x 2 " 2x
4x 2 7x
vale:
* 12
1
.
".
86
10 Il montante tra 2 anni della somma di 1000 euro in regime di sconto commerciale al tasso
annuo di interesse del 6% è:
1000
M 1"0.06
2
12
M
*M
1000
0.06 2
1" 10.06
12
1" 1000
0.06 2
10.06
M
1000
1"0.062
11 In regime di capitalizzazione composta, il tasso trimestrale di interesse equivalente al tasso
annuo del 3% è:
* i 4 4 1. 03 " 1
i 3 0.03
3
i 3 3 1. 03 " 1
i 4 0.03
4
12 La disequazione:
|x 2 " 4| x " 2
è verificata per:
tutti i valori di x R
x "3 8 x 2
* nessun valore di x h
"1 x 2
13 I vettori:
)
x
2
y
"2
3
)
0
sono ortogonali:
solo per ) 0
* per qualsiasi valore di ) h
per nessun valore di ) h
solo per ) "2
14 Un prestito di 5000 euro viene rimborsato attraverso il versamento di 5 rate annuali. Nel
caso di ammortamento all’italiana con tasso di interesse del 3% annuo composto, la terza
rata è pari a:
R 1060
R 1000
R 1030
* R 1090
87
15 Un BOT del valore nominale di 2000 euro, scadente tra 6 mesi, fornisce un rendimento
annuo semplice del 3%. Il suo prezzo di acquisto è pari a:
2000
P 10.036
2000
* P 10.03
6
12
P
P
2000
Ÿ10.03
2000
Ÿ10.03
6
12
6
16 Il dominio della funzione:
fŸx è dato da:
D ".; " 5 :
Dh
* D "5; " 5 :
D ¡"5; .
x 5 x2 " 5
5 ; .
5 ; .
Domanda aperta: Enunciare e dimostrare il Teorema di Rolle.
88