Wykªad 3 [9.10] - streszczenie
Równania pierwszego rz¦du rozwi¡zane ze wzgl¦du na pochodn¡ (w postaci
normalnej):
dy
= f (x, y).
dx
y 0 = f (x, y),
(1)
(x0 , y0 ) mamy y 0 (x0 ) = f (x0 , y0 ), zatem liczba f (x0 , y0 )
funkcji y(x) (tj. rozwi¡zania) w punkcie x0 a osi¡ Ox. Liczby te
Interpretacja geometryczna (1): dla danego punktu
daje tangens k¡ta
α
mi¦dzy styczn¡ do wykresu
mo»na znale¹¢ nawet bez znajomo±ci rozwi¡zania! W oparciu o równanie tworzymy
pole kierunków
1.
Caªkowanie równania mo»na interpretowa¢ jako szukanie krzywych zgodnych z zadanym przez równanie polem
kierunków. Ponadto, mo»emy wnioskowa¢ o ksztaªcie rozwi¡za« bez ±cisªego rozwi¡zywania równania wystarczy
sporz¡dzi¢ odpowiednio g¦ste pole kierunków.
Oxy jest arbitralny. Na pole kierunków mo»na spojrze¢ w ukªadzie Oyx
osi¡ Oy . Takie podej±cie prowadzi do równania odwróconego:
Geometrycznie wybór ukªadu
trywa¢ k¡t
β
mi¦dzy styczn¡ a
i rozpa-
dx
1
=
.
dy
f (x, y)
(2)
Równania (1) i (2) reprezentuj¡ te same krzywe, st¡d mo»emy je uto»samia¢.
Co z k¡tami
α = ±π/2?
Odpowiadaj¡ one punktom, gdzie
f (x, y)
staje si¦ niesko«czone. W otoczeniu tych
punktów rozwi¡zujemy równanie odwrócone i uzyskane rozwi¡zanie doªaczamy do uzyskanego wcze±niej z równania
(1). W ten sposób rozwi¡zaniami mog¡ by¢ krzywe zamkni¦te.
Mamy zatem zagadnienie ogólniejsze: jednocze±nie z równaniem (1) rozpatrujemy zawsze równanie odwrócone
do niego (2). Mo»na to ogólniej zapisa¢
dy − f (x, y)dx = 0
lub w postaci
(3)
symetrycznej, po odpowiednim przenazywaniu funkcji,
P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0.
(4)
Krzywa caªkowa krzywa powstaªa jako rozwi¡zanie obu równa«.
Rozwi¡zanie dowolny wzór opisuj¡cy krzyw¡ caªkow¡.
Przykªady.
1)
2)
y 0 = 1/x, y = ln Cx oraz x = 0 (rozwi¡zanie szczególne); inaczej: x + Cey = 0,
y 0 = −x/y ; krzywe caªkowe dane przez x2 + y 2 = C, C > 0.
Istnienie i jednoznaczno±¢ rozwi¡za«
Twierdzenie PicardaLindelöfa: Niech f (x, y) speªnia warunki: 1) jest ci¡gªa (a zatem ograniczona), 2) ma
∂f /∂y .
y(x0 ) = y0 .
ograniczon¡ pochodn¡
pocz¡tkowy
Wtedy równanie (1) ma
jednoznaczne rozwi¡zanie
Równania postaci
W obszarach ci¡gªo±ci funkcji
f
y = y(x)
speªniaj¡ce warunek
y 0 = f (x).
rozwi¡zanie ogólne dane przez
Z
y=
1
f (x)dx + C
Kod Mathematiki:
F[x_, y_] := -x/y;
VectorPlot[{1, F[x, y]}/Sqrt[1 + F[x, y]^2],{x, -4, 4}, {y, -4, 4},
VectorScale -> 0.02, VectorPoints -> Fine,VectorStyle -> "Segment"].
Mo»na poeksperymentowa¢ z ró»nymi funkcjami
F.
1
(5)
lub w postaci Cauchy'ego
x
Z
y=
f (x0 )dx0 + y0 .
(6)
x0
f (x) mo»e by¢ niesko«czona w x = c. W otoczeniu tego punktu rozwi¡zujemy równanie odwrócone,
x = c jet oczywi±cie rozwi¡zaniem. Mo»e ono by¢ szczególne [caªka w (6) jest rozbie»na przy x → c;
zachowanie asymptotyczne] lub osobliwe [caªka jest zbie»na; krzywa zbli»a si¦ do punktu na x = c].
Funkcja
którego
Równania postaci
y 0 = f (y).
Równanie odwrócone do danego
dx
1
=
,
dy
f (y)
(7)
a wi¦c postaci analogicznej do rozpatrywanej poprzednio.
W obszarach ci¡gªo±ci funkcji
f
rozwi¡zanie ogólne dane przez
Z
dy
+ C,
f (y)
x=
(8)
co jednocze±nie jest caªk¡ ogóln¡ równania wyj±ciowego.
W postaci Cauchy'ego
Z
y
x=
y0
Funkcja
f (y)
mo»e zerowa¢ si¦ w
rozwi¡zaniem jest oczywi±cie
y = a.
y = a.
dy
+ x0 ,
f (y)
(9)
y 0 = f (y), którego
(9) jest rozbie»na przy y → a; zachodo punktu na y = a; innych rozwi¡za«
Rozpatrujemy wtedy równanie oryginalne, tj.
Mo»e ono by¢ szczególne [caªka w
wanie asymptotyczne] lub osobliwe [caªka jest zbie»na; krzywa zbli»a si¦
osoboliwych nie ma].
2