Universidade Federal de Campina Grande - UFCG
Centro de Ciências e Tecnologias - CCT
Unidade Acadêmica de Matemática - UAMat
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I (NOVO)
Perı́odo: 2022.1
Lista 5 - Integral
1 - Use o Teorema Fundamental do Cálculo para calcular as derivadas das funções:
x
Z
a) g(x) =
1
1
Z
c) g(x) =
1
dt
3
t +1
Z r√
b) g(r) =
0
√
cos( t) dt
ex
Z
d) h(x) =
ln t dt
x
1
Z tg(x) q
√
e) h(x) =
t + t dt
Z
1
u3
du
1 + u2
f) y =
1−3x
0
Z
x2 + 4 dx
3x
g) g(x) =
2x
Z
2 - Suponha que
u2 − 1
du
u2 + 1
x2
Z
2
et dt
h) g(x) =
x
x
f (t) dt = x2 − 2x + 1. Determine f (x).
1
0
g(x)
3 - Calcule f (2) onde f (x) = e
Z
com g(x) =
2
4 - Sejam f e g funções contı́nuas com:
Z 2
Z
f (x) dx = −4,
1
x
t
dt.
t2 + 1
5
Z
f (x) dx = 6,
1
g(x) dx = 8.
1
Calcule as seguintes integrais:
1
5
1
Z
2
Z
g(x) dx
a)
g(x) dx
b)
5
2
2
Z
5
Z
c)
3f (x) dx
d)
f (x) dx
1
2
5
Z
[f (x) − g(x)] dx
e)
5
Z
[4f (x) − g(x)] dx
f)
1
1
5 - Calcule:
Z
1
Z
(x + 3)dx
(a)
4
1
dx
2
3
1
dx
x3
1
1
3
dx
5x −
2
4
√
xdx
8
√
3
(b)
0
0
1
Z
Z
2
(x − 1)dx
(c)
(d)
−2
1
1
Z
Z
(e)
5dx
(f )
−1
0
−1
Z
(g)
−2
4
Z
1
4
(k)
1
(m)
1
Z
(h)
0
Z
(j)
1 + 3x2
x
1
Z
(x − 3)2 dx
(l)
0
Z
dx
sen(3x)dx
−π
Z
e−2x dx
−1
0
(q)
0
(p)
senx dx
Z
0
(n)
π/4
(o)
xdx
0
1+x
dx
x3
2
Z
Z
1
√ dx
x
(i)
Z
1
+ x dx
x2
π/3
Z
(3 + cos(3x))dx
(r)
0
0
2
π/2
cos2 x dx
Z
π/2
Z
2
sen x dx
(s)
(t)
0
π/4
sec2 xdx
0
6 - Desenhe o conjunto A abaixo e calcule a área:
(a) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 3, pelo eixo 0x e pelo
gráfico de y = x3 .
(b) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 1, x = 4, y = 0 e pelo gráfico
√
de y = x.
(c) A é o conjunto de todos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ 0.
(d) A é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ 4 − x2 .
(e) A é o conjunto de todos (x, y) tais que 0 ≤ y ≤ | senx|, com 0 ≤ x ≤ 2π.
(f ) A é a região do plano compreendida entre o eixo 0x e o gráfico de y = x2 − x,
com 0 ≤ x ≤ 2.
(g) A é o conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo gráfico de y = 3−2x−x2 ,
com −1 ≤ x ≤ 2.
(h) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = −1, x = 2, y = 0 e pelo
gráfico de y = x2 + 2x + 5.
(i) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x = π, y = 0 e pelo gráfico
de y = cos x.
(j) A é o conjunto de todos (x, y) tais que x ≥ 0 e x3 ≤ y ≤ x.
(k) A é o conjunto do plano limitado pela reta y = x, pelo gráfico de y = x3 , com
−1 ≤ x ≤ 1.
(l) A = {(x, y) ∈ R2 ; 0 ≤ x ≤ 1 e
√
x ≤ y ≤ 3}.
(m) A é o conjunto do plano limitado pelas retas x = 0, x =
π
e pelos gráficos de
2
y = senx e y = cos x.
(n) A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 + 1 ≤ y ≤ x + 1.
3
(o) A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x2 − 1 ≤ y ≤ x + 1.
(p) A é o conjunto de todos os pontos (x, y) tais que x ≥ 0 e −x ≤ y ≤ x − x2 .
7 - Calcule:
Z
Z
(b)
3
(3x − 2) dx
(a)
Z
(c)
Z
1
dx
(3x − 2)2
(d)
Z
Z
(e)
xsen(x )dx
Z
(g)
Z
2 x3
x e dx
Z
(i)
(h)
Z
3
cos xsenx dx
Z
(k)
(o)
Z
x
e
√
1+
(r)
4
2
xex dx
x3 cos(x4 )dx
sen5 x cos xdx
Z
3x
dx
5 + 6x2
Z
√
x 1 + 3x2 dx
Z
senx
dx
cos2 x
(p)
ex dx
1
dx
3x − 2
5
dx
4x + 3
(n)
x
dx
(1 + 4x2 )2
3x − 2dx
Z
(l)
x
dx
1 + 4x2
(m)
Z
(j)
2
dx
x+3
Z
(q)
(f )
2
√
GABARITO
√
√
1
0
b)
g
(r)
=
r2 + 4 c) g 0 (x) = − cos( x) d) h0 (x) = xex
3
x +1
p
√
dy
3(1 − 3x)3
4x2 − 1
0
=
+
e) h0 (x) = sec2 x tgx + tgx f )
g)
g
(x)
=
2
dx
1 + (1 − 3x)2
4x2 + 1
9x2 − 1
4
2
3 2
h) h0 (x) = 2xex − ex
9x + 1
1. a) g 0 (x) =
2. f (x) = 2x − 2.
3.
2
5
4. a)0 b) − 8 c) − 12 d)10
e) − 2
f ) 16.
7
4
3
16
(b) 2 (c) 0 (d)
(e) 10 (f )
(g) −1 (h)
(i) 2 (j) 12
2
9
4
3
√
39
19
9
2
2− 2
1
(k)
(l)
(m) ln 2 +
(n) −
(o)
(p) (e2 − 1) (q) π
2
3
2
2
π3
π32
(s)
(t) 1
(r)
4
4
14
4
32
23
1
6. (a) 20 (b)
(c)
(d)
(e) 4 (f ) 1 (g)
(h) 21 (i) 2 (j)
3
3
3
3
4
√
1
7
1
9
4
(k)
(l)
(m) 2( 2 − 1) (n)
(o)
(p)
2
3
6
2
3
5.(a)
(3x − 2)4
2p
1
1
+k (b)
(3x − 2)3 +k (c) −
+k
(d)
ln |3x−2|+k
12
9
3(3x − 2)2
3
1 2
1 3
1
cos4 x
1
+k
(e) − cos x2 + k (f ) ex + k (g) ex + k (h) sen(x4 ) + k (i) −
2
2
3
4
4
6
sen x
5
1
(j)
+k (k) 2 ln |x+3|+k (l) ln |4x+3|+k (m) ln(1+4x2 )+k
(n)
6
4
8
1
2p
1
1p
2 )3 +k
(1
+
3x
(q)
(1 + ex )3 +k
ln(5+6x2 )+k (o) −
+k
(p)
4
8(1 + 4x2 )
9
3
1
(r)
+k
cos x
7. (a)
5