Axions ה𝑔𝑎𝑁𝑁 -הוא מקדם גנרי לחוזק האינטרקציה .נרצה להוכיח שזה באמת האיבר הנכון בהמילטוניאן. צריך להבין מקוסמולגיה את הCos(mt)- באנלוגיה לשדה א"מ ההמילטוניאן פרופורציונאלי ל: )𝐻 ∝ 𝐸 = 𝐸0 ∗ cos(ωt − kx במקרה שלנו 𝑎𝐸 = 𝑘 ≪ ωומזניחים אותו. חוזק השדה פרופורציונאלי לשורש הצפיפות (בדומה לקוונטים הצפיפות היא השדה בחזקת .)2 להבין את ה𝑉 ⋅ 𝜎𝑁 - בוא נרשום איבר פוטניאלי בלגרנג'יאן וניקח את הגבול הלא יחסותי: 𝑁 ̅𝛾 𝜇 𝛾5 𝑁𝑎 𝜇𝜕 𝑁𝑁𝑎𝑔 = ℒ האיבר שומר ( CPאפשר לכתוב איבר שובר CPאבל יש עליו חסמים גדולים ממדידות אחרות). כשממירים לאמפליטודה יש פרמיון חלקיק בהתחלה ובסוף ולכן Nמומר בפולריזציה ( uולא ב.)v- 𝑢 ℒ𝑒𝑓𝑓 = 𝑔𝑎𝑁𝑁 𝑝𝜇𝑎 𝑎𝑢̅𝛾 𝜇 𝛾5 The Polarizations are (Solving the Dirac equation): 𝜉 𝜎 ⋅ 𝑁𝑝√ ( = ) 𝑁𝑝(𝑢 ) 𝜉 ̅𝜎 ⋅ 𝑁𝑝√ Our goal is to get ℒ𝑒𝑓𝑓 ∝ 𝑣𝑖 𝜉 + 𝜎 𝑖 𝜉 (𝜉 𝑎𝑟𝑒 𝑡ℎ𝑒 𝑠𝑝𝑖𝑛𝑜𝑟𝑠). 𝑓𝑝⃗𝑖/𝑓 = 𝑀𝑁 𝑣⃗𝑖/ 𝑝0𝑁 = 𝑀𝑁 , )𝜎 ⋅ 𝑣 𝑝 ⋅ 𝜎 = 𝑀𝑁 (1 − 1 )𝜎 ⋅ 𝑣 √𝑝 ⋅ 𝜎 = √𝑀𝑁 ∗ (1 − 2 1 )𝜎 ⋅ 𝑣 √𝑝 ⋅ 𝜎̅ = √𝑀𝑁 ∗ (1 + 2 Let’s calc. (ignoring 𝑀𝑁 ), because our interacting Neutrons are not relativistic and barely change their momentum because of the Axion 𝑣𝑖 = 𝑣𝑓 = 0 (in the system of the Neutron): 𝜉 ) ( 𝜉 + )𝛾0 𝛾 𝜇 𝛾5 𝜉 0 𝜇𝜎 0 ̅̅̅̅( = 𝜇 𝛾 ) , ) −1 𝜎𝜇 0 𝑢̅𝑓 𝛾 𝜇 𝛾5 𝑢𝑖 = (𝜉 + 0 1 1 ( = 𝛾0 ( = ) , 𝛾5 1 0 0 𝜉 0 𝜎𝜇 𝜉 + ) ∗ (̅̅̅̅ ) ∗ ( ) = (𝜉 + 𝜇 −𝜉 𝜎 0 = 2𝜉 + 𝜎 𝑖 𝜉 (𝑓𝑜𝑟 𝜇 = 0 𝑣𝑎𝑛𝑖𝑠ℎ𝑒𝑠) 𝑢̅𝑓 𝛾 𝜇 𝛾5 𝑢𝑖 = (𝜉 + −𝜎 𝜇 𝜉 𝜇𝜉 𝜉 + ) ( ̅̅̅̅ ) = −𝜉 + 𝜎 𝜇 𝜉 + 𝜉 + ̅̅ 𝜎̅̅ 𝜎𝜇 𝜉 Back to the Lagrangian term: 𝑝𝜇𝑎 = (𝑀𝑎 , 𝑀𝑎 𝑣⃗) ℒ ∝ 𝑣 𝑖 ∗ 𝜉 + 𝜎𝑖 𝜉 This is what we wanted to prove. The 𝜉 on both sides are like the wavefunction and are parallel to taking the expectation value of 𝜎. We got an effective anomaly field and an 𝑣 ∙ 𝑆 interaction. :) (לא חייב להיות ניוטרוןOnshell נרצה להוכיח שעבור חלקיקים ℒ = 𝑔𝑎𝑁𝑁 ∗ 𝑚𝑁 ̅𝛾5 𝑁 𝑎𝑁 𝑓𝑎 :נתחיל ב ℒ= 𝑔𝑎𝑁𝑁 ̅𝛾 𝜇 𝛾5 𝑁 𝜕 𝑎𝑁 𝑓𝑎 𝜇 ̅ 𝛾 𝜇 𝛾5 𝑁) 𝑠 = ∫ 𝑑4 𝑥 (𝑔𝑎𝑁𝑁 𝜕𝜇 𝑎𝑁 𝜕𝜇 𝑎: נעשה אינטגרציה בחלקים לפי 𝑠=| 𝑔𝑎𝑁𝑁 𝑔 ̅𝛾 𝜇 𝛾5 𝑁 − ∫ 𝑑4 𝑥 ( 𝑎𝑁𝑁 𝑎𝜕𝜇 (𝑁 ̅𝛾 𝜇 𝛾5 𝑁)) ∗ 𝑎𝑁 𝑓𝑎 𝑓𝑎 :)נאפס את תנאי השפה (שדות דועכים באינסוף 𝑔𝑎𝑁𝑁 ̅𝛾 𝜇 𝛾5 𝑁 + 𝑁 ̅𝛾 𝜇 𝛾5 𝜕𝜇 𝑁)) 𝑠 = − ∫ 𝑑4 𝑥 ( 𝑎(𝜕𝜇 𝑁 𝑓𝑎 עכשיו נרשום את משוואת Diracעבור הפרמיון והאנטי פרמיון: (𝑖𝜕𝜇 𝛾 𝜇 − 𝑚)𝑁 = 0 𝑁𝑚𝑖𝜕𝜇 𝛾 𝜇 𝑁 = − 𝑁𝑚 ̅ + ̅) = 0 𝑁 𝜇𝜕 𝜇 𝛾𝑖( 𝑁𝑚𝑖 = ̅ ̅ 𝑁 𝜇𝜕 𝜇 𝛾 נציב כדי לעבור למסות: 𝑁𝑁𝑎𝑔 𝑁 ̅𝛾 𝜇 𝛾5 𝑁 + ))𝑁 𝜇𝜕 ̅𝛾 𝜇 𝛾5 ( 𝑥 𝑠 = − ∫ 𝑑4 𝑁 𝜇𝜕(𝑎 𝑎𝑓 𝑁𝑁𝑎𝑔 𝑁 ̅𝛾 𝜇 𝛾5 𝑁 − ))𝑁 𝜇𝜕 𝜇 𝛾 ̅𝛾5 ( 𝑥 𝑠 = − ∫ 𝑑4 𝑁 𝜇𝜕(𝑎 𝑎𝑓 𝑁𝑁𝑎𝑔 𝑁 ̅𝛾5 𝑁 + ))𝑁𝑚𝑖 ̅ 𝛾5 ( 𝑥 𝑠 = − ∫ 𝑑4 𝑁𝑚𝑖(𝑎 𝑎𝑓 𝑁𝑁𝑎𝑔 )𝑁 ̅ 𝛾5 𝑁𝑎 ∗ 𝑚𝑖 𝑎𝑓 𝑠 = − ∫ 𝑑4 𝑥 (2 ולכן האיבר עכשיו בלגרנג'יאן נראה ככה: 𝑁𝑁𝑎𝑔 𝑁 ̅𝛾5 𝑁𝑎 ∗ 𝑚 𝑎𝑓 𝑖ℒ = −2 אם האיבר היה Odd CPלא היה 𝛾5והיה מינוס בין האיברים באינטגרל שהיה גורם לאיפוס של האיבר.