O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA‘LIM, FAN VA
INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
TOSHKENT DAVLAT TEXNIKA UNIVERSITETI
“OLIY MATEMATIKA” KAFEDRASI
barcha ta’lim yo’nalishlari uchun
OLIY MATEMATIKA
fanidan 1-kurs 2-semestr uchun
«KO’P O’ZGARUVCHILI FUNKSIYA VA
DIFFERENSIAL TENGLAMALAR»
bo’limiga doir
1-MODUL TOPSHIRIQLARI
TOSHKENT – 2023
NAZARIY SAVOLLAR
1.
Bir necha o‘zgaruvchili funksiya tushunchasi. Xususiy hosilalar.
2.
Yuqori tartibli xususiy hosilalar. Urinma tekislik va sirtning normali.
3.
Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremumi.
4.
Differensial tenglamalar (boshlang'ich tushunchalar). Birinchi tartibli oddiy
differensial tenglamalar.
5.
O'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalar. Birinchi tartibli bir jinsli
differensial tenglamalar.
6.
Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalar. Bernulli tenglamasi. To'la
differensial tenglama.
7.
Birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar uchun Koshi masalasi.
8.
Yuqori tartibli differensial tenglamalar. n-tartibli differensial tenglama uchun
Koshi masalasi.
9.
Birinchi tartibli differensial tenglamaga keltirish mumkin bo'lgan ikkinchi
tartibli differensial tenglamalar.
10. O'zgarmas koeffisientli ikkinchi tartibli bir jinsli va bir jinsli bo'lmagan chiziqli
differensial tenglamalar.
2
HISOBLASH UCHUN VAZIFALAR
1. Funksiyaning to‘la differensialini toping.
2. Funksiyani ekstremumga tekshiring
3. O'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamalarni umumiy yechimini
toping.
4. Bir jinsli birinchi tartibli differensial tenglama uchun umumiy yechimini
toping.
5. Chiziqli birinchi tartibli tenglamaning xususiy yoki umumiy yechimini toping
(misolning shartiga qarab).
6. Tenglamani avval to'la differensial ekanligini tekshiring, so'ng uning umumiy
yechimini toping.
7. Differensial tenglamani tartibini pasaytirish usuli bilan yuqori tartibli
differensial tenglamaning umumiy yoki shartiga binoan xususiy yechimini
toping.
8. O'zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning
umumiy yechimini toping.
3
VARIANTLAR
1-variant
2-variant
1. z = x2y sin x – 3y.
1. z =2x3y-4xy5.
2. z =y
2. z = x3+8y3-6xy+5.
-2y2-x+14y.
3. х 4  у 2 dx  у 1  x 2 dу  0.
2
2
4. ху  2 х  у  у.
4. 2 у  
  1
у  .
4 2
5. у  уtgx  cos2 x;
5. у  
8x
12 x 2
dx  4 dy  0
6.
y3
y

1 х2
 1.
1 у2
3. у у 
у2
у
 6  3.
2
х
х
у
 х2;
2х
у 
dу

 0.
6.  х е х  2  dx 
х 
x


7. 1  х 2 у  2 ху  х3.
7. х у   у   1.
8. у  у  12 x  6.
8. у   4 у   4 у  е 2 х  sin 3х.
3-variant
1. z =arctg x+
4-variant
1. z =arcsin (xy)-3xy2.
.
2. z = 1+6x-x2-xy-y2.
2. z = 1+15x-2x2-xy-2y2.
1  е  у  у е .
х
3.
х
3.
х 2  ху  у 2

у

.
4.
х 2  2 ху
у
5. у    3x;
х
у
 3xy
х
5  у 2  у   у  1  х 2  0.
х 2  2 ху  у 2
.
4. у  
2 х 2  2 ху
у1  1.
5. у  
6. х 2  у 2  2 х dx  2 ху dу  0.
7.
у 1 1.
2х  1
у  1;
х2
у 1  1.
6. 2 xe dx  3x e dу  0.
3y
у1 1, y1  2
2
3y
7. у  у 3  64  0; у 0  у 0  2.
8. у   у  2 cos 4 x  3 sin 4 x.
8. у  4 у  24  е 4 х .
4
5-variant
6-variant
1. z =5xy4+2x2y7.
1.
2. z = x3+y3-6xy-39x+18y+20.
2. z = 2x3+2y3-6xy+5.
3.
3 у 3  6 ух 2
.
4. ху  
2 у 2  3х 2
у х 1 х

е ;
х
х
2
2
4. xу   2 х  у  у.
5. у  
у 1 е.
7. у   32  у ;
2
5
у  x 3 ; у1  .
х
6
3
2 2
6. 18xy  1dx  27 x y  1dy  0
dx х  у 2

 dу  0.
6.
у
у2
3
7. 2 ху  у, y 1  y1  y1  1
у 4 1; у 4  4.
3х
8. у  3 у  7 е .
2х
8. у  2 у 15 е
7-variant
1. z =ln(
8-variant
1. z =5xy2-3x3y4.
).
2. z = 3x3+3y3-9xy+10.
2. z = x2+xy+y2+x-y+1.
x
x
3. e  8dу  у e dx  0.
2
2
3. 2 хdx  2 уdу  x уdу  2 ху dx.
3 у 3  6 ух 2
.
4. ху  
2 у 2  4х 2
4. ху  х  у  у.
2
5. у  
)+x3.
2
3. 5x  2 у  2ctg y
1  х 2  у   ху 2  х  0.
5. у  
z =cos(
2
xy
2х
2

; у 0  .
2
2
1 х 1 х
3
5. у 
6. ху 2 dx  ух 2  у 2 dу  0.
3
7. уу  16  0; у1  2; у 1  2.
6.
2х  5
у  5; у 2 4.
х2
у
ху  1
dx 
 dу  0.
2
х
х
7. ху   2 у   0.
8. у  4 у  4 у  2 cos 2 x.
8. у  3 у  2 у  1  х 2 .
5
9-variant
10-variant
1. z =arcsin(x+y).
1. z =arctg (2x-y).
2. z = 4(x-y)-x2-y2.
2. z = 6(x-y)-3x3-3y3.
3.
2
2
3. 6 хdx  6 уdу  2 x уdу  3ху dx
4  у 2 dx  уdу  х 2 уdу.
4. ху  
4. ху  4 х  у  у.
3 у 3  4 ух 2
.
2 у 2  2х 2
5. у   у cos х 
2
5. у  
sin 2 х
; у 0  0.
2
у
3
у
 х  sin x;
х
у
у 0  1;
7. у   128 у;
7. y  tgx  2 у
3х
8. у  3 у   е .
12-variant
.
1. z =
.
2. z = x2+xy+y2-6x-9y.
2. z = (x-2)2+2y2-10.
2
2
3. х 3  у dx  у 2  х dу  0.
3. e
у2
у
4. у   2  4  2.
х
х
4. у  
5. у  
у
 sin x;
х
у   
у  0  8.
8. у  4 у  3sin 2 x.
11-variant
1. z =7x3y-
 
у    1.
2
6. sin 2x  2 cosх  у  dх  2 cosх  у  dу  0.
6. 3x e dx  х e  1dу  0.
2
2
1


.

2
2x 
2х
2x
6.  3х 2  cos dx  2 cos dу.
у
у 
у
у


7. у  32sin 3 у  cos у; у 1  ; у 1  4
2
 5dу  уe 2 x dx  0.
2x
5. у  
х у
.
х у
у
 е х х  1;
х 1
у 0  1.
2
2
у
6. 3х  4 у dx  8ху  е dу  0.
3
7. у  2 у ;
у  1  1;
8. у  у  2е
8. у  у  2 sin x.
6
х
у  1  1
13-variant
1. z =
14-variant
1. z =cos(3x+y)-x2.
.
2. z = x3+y3-3xy.
2. z = (x-5)2+y2+1.
3.
3  у 2 dx  у dу  x 2 у dу.
2
2
3. х 1  у  уу 1  х  0.
3 у 3  2 ух 2
.
4. ху  
2у2  х2
у
12
 3;
х
х
5. у  
6.
4х
3
у 1  4.
y 5  3dx  5x 4 y 4 dу  0.
4. у 
х  2у
2х  у
5. у 
у ln x

;
х
х
6.
7. 1  x  y  y
у 1  1.
 х  у  dx   e у  х  2 у  dу  0.
7. x4 у  x3 у  4
8. 3 у  y  6 x  1.
8. у  25 у  20cos5x.
15-variant
16-variant
1. z =tg((x+y)/(x-y)).
1. z =ctg(y/x).
2. z = 2xy-2x2-4y2.
2. z =x y -x2-y+6x+3.
2
2
3. х 5  у dx  у 4  х dу  0.
2
2
3. 6 хdx  6 уdу  3x уdу  2 ху dx.
4. 3 у  
5. у 
6.
у2
у

8
 4.
х2
х
у2
у
4. у   2  6  6.
х
х
2 ху
 1  х 2 ; у 1  3.
2
1 х
1
у  2 ху  2 х3 ; у 1  .
е
5.
1  ху
1  ху
dx

dу  0.
х2 у
ху 2



6. e dx  cos у  хe dу  0.
у

3
2
7. у у  4 у  1 ; у  0   2; у  0   2
у
7. у у3  у  0; у  0  1;
8. у   2 у   5 у   sin 2 x.
у  0   2
x
8. у   2 у   4e sin x  cos x .
7
17-variant
18-variant
1. z =xy4-3x2y+1.
1. z =ln(x+xy-y2).
2. z = 2xy-5x2-3y2+2.
2. z = xy(12-x-y).
3.
4  x 2  у   xу 2  х  0.
4. ху   3 2 х 2  у 2  у.
 
5. у   у  ctgx  2 x  sin x; у    0.
2

у 
1
6.  2 х  1  2  dх    2 у  dу  0.
х 
х


7. х у   ху   1.
2
6х
8. у  36 у  36е .


3. у 4  e dу  e dx  0.
x
x
x 2  3ху  у 2
.
4. у  
3x 2  2 ху
5. у  
у
 х2;
х
2
у 1  0.


2
у
2
у
2
6. хе dx  x уе  tg у dу  0.
7. 2 yy   y   0
2
8. y  8 y  80 y  4e
10 x
19-variant
20-variant
1.
z =2x2y2+x3-y3.
1. z =
2.
z = xy-x2-y2+9.
2. z = 2xy-3x2-2y2+10.
3.
у ln у  xу   0.
3. 6 хdx  уdу  ух dу  3ху dx.
4.
у2
у
2 у   2  8  8.
х
х
3 у 3  10 x 2 у
.
4. ху  
5x 2  2 у 2
5.
у 
6.
.
2
у
 2 x  x 2 ; у  0   0.
х2
5. у 
2
3у 2
 ; у 1  1
х х3
2x
2 yx 2
dx 
dy  0
6. 2
2
2
y 1
y 1

у 
 1

 2 х  1  2  dх    2 у  dу  0.
х 
х




3
7. у  2 у ; у  1  1, у  1  1
7.
ху  2
8.
у   16 у  16 cos 4 x.
х
8. у   у  2е .
8
21-variant
22-variant
1. z =arcsin((x+y)/x).
1. z =arcctg (x-y).
2. z = x3+8y3-6xy+1.
2. z =y


3. 1  е у  у   е .
х
х
2
2
3. 2 х  2 ху  2  х  у   0.
у2
у
4. у   2  8  12.
х
х
2
2
4. ху  2 3x  у  у.
х 2 1  х 3 

;
5. у  3х у 
3
3
5. у  4 ху   4 х ;
у 0  0.
2

-y2-x+6y.

1
у  0   .
2

1
1
6.  sin у  у sin x   dx   x cos у  сosx   dу  0.
x
у

2
2
2
6. ху dx  y x  y dy  0.

2
7. у   у 
7. у  
8. у  5 у  7 y  16 х.

1
.
2 у
2
8. у  13 у  12 у  х  1.
23-variant
1. z =
24-variant
1. z =y2-3xy-x4.
.
2. z = xy(6-x-y).
2. z = x2-xy+y2+9x-6y+20.
3. хdx  уdу  ух dу  ху dx.
3. 3x у  у dу  2  у dх  0.
2
4. ху  
2
3


у
2
у
2
6. хе dx  x уе  tg у dу  0.
2
х
у
7. у   
7. уу   у   у   0.
2
у  0  3
5. у  ху   х ;
1
у  0 
2
 1 


1  е  dх  1  е  х  dу  0.


у 
у 2 


х
у
2
у2
у
4. 3 у   2  10  10.
х
x
3 у  14 х у
.
2 у 2  7х2
3
у
3
5. у  2  1   х  1 ;
х
6.
2
2
3
2
х
.
у
8. у  64 у  128 cos8x.
2
8. у  10 у  x .
9
25-variant
26-variant
1. z =arcos (x+y).
1. z =ln(y2-x2+3).
2. z = x2+y2-xy+x+y.
2. z = x2+xy+y2-2x-y.
2
2
3. 6 хdx  2 уdу  2 уx dу  3ху dx.
3. у1  ln у   ху   0.
4. ху  
х 2  ху  3 у 2
4. у  
х 2  4 ху
5. у  у cos x  sin 2 x; у  0   1.




6. 5ху  х dх  5х у  у dу  0.
2
7. у  
3
49
;
у3
2
у  3  7; у  3  1.
5. у 
3 у 3  12 x 2 у
.
2 у 2  6x 2
у
ln x

; у 1  1
х
x
6. х 2  4 ху  2 у 2 dх  у 2  4 ху  2 х 2 dу  0.
5
4
7. x у   х у   1.
8. у  25 у  50е 5ч .
8. у   2 у   2е  cos x.
х
27-variant
28-variant
1. z =2- x3-y3+5x.
1. z =7x- x3y2+y4.
2. z = (x-1)2+2y2.
2. z = xy-3x2-2y2.
2
2
3. 2 хdx  уdу  уx dу  ху dx.
3. 3  e
у2
у
4. 4 у   2  10  5.
x
х
2
2
4. ху   4 2 x  у  у.
5. у  у cos x   sin 2 x; у  0   3.
5. у 

6. cosх  у 2   sin xdх  2 у cosх  у 2 dу  0.
6.
2x
 уу  e
2x
.
2
2
у  е х  х  1 ; у  0   1
х 1
х  у  dx  х  у  dу
x2  у2
7. у   у   1.
2
7. х у   ху   1.
2х
8. у   4 у   4 у  е  sin 5x.
8. у  2 у  3х  4.
2
2
2
10
 0.
29-variant
30-variant
1. z=ey-x.
1. z=arctg (2x-y).
2. z = x2+3(y+2)2.
2. z = 2(x+y)-x2-y2.
3.
3  у 2  1  х 2 у  у   0.
х 2  ху  5 у 2
.
4. у  
х 2  6 ху
5. у  
5  у 2 dx  4 х 2 у  у dу  0.
3.
4.
ху   4 x 2  у 2  у.
  2 ху  хе х  sin x; у  0   1.
у
5.
2
ху
х

;
2 1  х 2  2
2
у 0  .
3
6. 3х 3  6 х 2 у  3ху 2 dх  2 х 3  3х 2 у dу  0.
2
3
2
2
у




2
3
ху

2
х
dх

3
2
ух

у
dу

0
.



х
у

у

ln
.
6.
7.
х
8. у  у  2 xе .
х

 
7. уу  у у  у .
2
2
8. у  6 у  9 у  18е .
3х
31-variant
1. z =
32-variant
1. z =cos(3x+y)-x2.
.
2. z = x3+y3-3xy.
2. z = (x-5)2+y2+1.
3.
3  у 2 dx  у dу  x 2 у dу.
2
2
3. х 1  у  уу 1  х  0.
3 у 3  2 ух 2
.
4. ху  
2у2  х2
5. у  
6.
4х
у
12
 3;
х
х
3
у 1  4.
y 5  3dx  5x 4 y 4 dу  0.
4. у 
х  2у
2х  у
5. у 
у ln x

;
х
х
6.
7. 1  x  y  y
у 1  1.
 х  у  dx   e у  х  2 у  dу  0.
7. x4 у  x3 у  4
8. 3 у  y  6 x  1.
8. у  25 у  20cos5x.
11
1-misol. =arctg
funksiyaning to‘la differensialini toping.
Yechish: Berilgan funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz:
To’la differensial formulasiga asosan, quyidagiga ega bo‘lamiz:
x
y
y
z
z
x
dz 
dx 
dy 
dx 
dy.
x
y
2 x  y 
2 x  y 
2-misol. z= x3+y3-3xy funksiyani ekstremumga tekshiring.
doimo mavjud bo‘ladi, shuning uchun
Yechish: Qaralayotgan misolda
statsionar (kritik) nuqtalarni topish uchun quyidagi tenglamalar sistemasiga ega bo‘lamiz:
Tenglamalar sistemasini yechamiz:
bundan x1
, x2 -1, y1
, y2 1.
Shunday qilib, M1(0,0) va , M2(1,1) ikkita statsionar nuqtalarga ega bo‘lamiz.
Quyidagilarni topamiz:
U holda =AC- =36xy-9.
M1(0,0) nuqtada =-9, yani bu nuqtada ekstremum yo‘q. M2(1,1) nuqtada = 27 0
va
, bundan kelib chiqadiki, bu nuqtada berilgan funksiya lokal minimumga
erishadi:
.
12
3-misol. Quyidagi o'zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglamani umumiy
yechimini toping:
xy
Yechish:
Bu
2
 x dx   y  yx 2 dy  0
 
1  x y

 1

x y 2  1 dx  y 1  x 2 dy  0
tenglamadan
y1  x 2 dy   x y 2  1dx
2
2
yoki
tenglamani
ko'paytmaga
o'zgaruvchilarga ajralgan differensial tenglamani hosil qilamiz, ya'ni,
bo'lib,
ydy
xdx

y2  1 1  x2
tenglamani ikki tarafini integrallab,

ydy
xdx

2
y 1
1  x2
tenglamani umumiy integralini hosil qilamiz:


1
1
1
ln y 2  1  ln x 2  1  ln c
2
2
2
.
Logarifm xossasiga binoan quyidagini yozamiz:
y2  1  C  x2  1
Tenglamani umumiy yechimi quyidagicha bo’ladi:


.
y   C  x 2 1 1 .
4-misol. y  x ydx  x dy  0 bir jinsli differensial tenglamaning umumiy
yechimini toping.
Yechish: Tenglama bir jinsli differentsial tenglama bo'lganidan uni quyidagicha
2
y y 2 dy

 .
yozamiz:
x x 2 dx
Bunda y  x  z almashtirish kiritib, uni differensiallab
bularni berilgan tenglamaga qo'yib,
z  z2  x
dy  xdz  zdx va
dz
 z ёки z 2 dx  xdz  0
dx
ko'rinishdagi o'zgaruvchilari ajraladigan tenglamani hosil qilib, uning o'zgaruvchilarini
ajratib integrallaymiz:
bu yerda,
z
y
x
1
dx
dz
ln
x

C,


,
 x  z2
z
x
ln
x

 C berilgan tenglamaning umumiy
o’rniga qo’ysak,
y
yechimini hosil qilamiz.
5-misol.
y  y  tgx 
1
cos x
chiziqli
differensial
boshlang'ich shartini qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.
13
tenglamani
y0  0
Yechish: Bu chiziqli differentsial tenglamada
P  x   tgx , Q  x  
bo’ladi.
Tenglamani Bernulli usulida yechamiz, ya'ni, yechimni
izlaymiz.
funksiya
u   v  uv  uv  tgx 
v  v  tgx  0
y  u  v кo’rinishda
1
vx  funksiyani shunday tanlaymizki, bu
cos x
tenglamani qanoatlantirsin. Tenglamani integrallab, v 
olamiz. Bu qiymatni u   v 
1
cos x
1
ni
cos x
1
1
1

tenglamaga qo'ysak, u  
bo'lib, bundan
cos x
cos x cos x
u  x  C bo’ladi. ux  vа vx  larning topilgan qiymatlarini y  ux   vx  ga qo'ysak,
umumiy yechim y   x  C 
1
hosil bo'ladi.
cos x
Umumiy echimga boshlang'ich shartni qo'llasak, С=0 ni hosil qilamiz. Demak, Koshi
x
bo’ladi.
cos x
2x
y 2  3x 2
dy  0 differensial tenglamani umumiy yechimini toping.
6-misol. 3 dx 
y
y4
masalasining yechimi y 
Yechish: Berilgan tenglama to'la differensial tenglama ekanligi tekshiramiz, bunda
2x
y 2  3x 2
M x, y  3 , N x, y 
y
y4
Demak,
M
6x
N
6x
 4 ,
 4 .
y
y
x
y
M
N

shart bajarilayapti.
y
x
Bundan esa berilgan tenglama to'la differensial tenglama ekanligi kelib chiqadi. Ikki
o'zgaruvchili funksiyaning to'la differensial formulasi bilan tenglamani solishtiramiz, ya'ni
u
u
2x
y 2  3x 2
du  x, y  
dx 
dy  3 dx 
dy  0.
x
y
y
y4
Bundan,
u
2x
 3
x
y
u
y 2  3x 2

.
,
y
y4
Bulardan birinchisini bo'yicha x integrallaymiz:
2x
x2
u   3 dx  3   y 
y
y
Bu yerda  y  noma'lum funksiya. Oxirgi ifodadan y bo'yicha hosila olamiz:
u
3x 2
  4    y 
y
y
2
1
1 3x
3x 2








y






y
y2
y2
y4
y4
14
(1)
Oxirgi tenglamani integrallab,
 y   C 
1
. Buni (1) ga qo'yamiz va tenglamani
y
umumiy yechimini hosil qilamiz:
x2 1
ux , y   3   C .
y
y
7-misol. Differensial tenglamaning tartibini pasaytirib, umumiy yechimini toping:
a)
y (e x  1)  y   0 .
Yechish:
Quyidagicha
almashtirish
y  z x ,
bajaramiz:
dz x
dz x
dz
dx
(e  1)   z,
 x
,
(e  1)  z  0,
z
e 1
dx
dx

y  
dz
dx
  x
.
z
e 1
dz
dx
vа
e x 1  t
ln z  ln e x  1  ln e x  ln c, oxirgi tenglikdan,
ex  1
z  C1  x
e
dy
ex 1
 C1 x , integrallab,
ifodani olamiz va undan esa
dx
e
almashtirishdan so’ng,
ex  1
y  C1  x dx  C1 ( x  e  x )  C2
e
tenglamani umumiy yechimini hosil qilamiz.
b). y y  1, differentsial tenglamaning tartibini pasaytirib, y1  1, y 1  0
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
3
Yechish:
y   p( y )
almashtirish bajaramiz. U holda y   p
dy
dy
,  pdp    3 ,
3
y
y
1  2Cy 2
dy

,
dx
y
pdp  
x  
ydy
1  2C1 y
Agar
2
 C2  
x  1,
1
 2C1 ,
y2
p
dx  

1
1  2C1 y 2

4C1
y 1
p2 
p2
1
 2  C1 ,
2 2y
dp
dp
3
 1,
, y p
dy
dy
vа

1
2
y  0


d 1  2C1 y 2 , x   1
bo’lsa,
2C1
1 
1
 2C1 ,
y2
ydy
1  2C1 y 2
,
1  2C1 y 2  C2 .
1
1  2C1  C 2 ,
2C1
1
2
0   1  2C1 bundan 1  2C1  0, C1   , C2  1 yechimi x   1  y 2  1 .
Geometrik nuqtai nazardan aylananing chap va o'ng qismi x  1  y  1.
2
15
2
8-misol. a) y  6 y  18e chiziqli bir jinsli bo'lmagan differensial tenglamaning
umumiy echimi topilsin. (Bunda   6 )
2
Yechish: y  6 y  0 bir jinsli tenglamaning xarakteristik tenglamasi k  6k  0
6x
va uning ildizlari k1  0, k2  6

6x
bo'lib, umumiy echimi y  C1  C 2 e
ko'rinishda
  k2  6 bo’lgani uchun xususiy yechimni
bo'ladi. Bir jinsli bo'lmagan tenglamada
y*  x  Ae6 x ko'rinishda qidiramiz. U holda y * dan birinchi va ikkinchi tartibli hosila
olib, berilgan tenglamaga qo'ysak, 12 A  36 Ax  6 A  36 Ax  18 bo'lib, undan A  3
ekanligi kelib chiqadi. Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi
y  y  y *  C1  C2 e6 x  3xe 6 x .
y  9 y  cos3x  2 sin 3x chiziqli bir jinsli
b)
tenglamaning umumiy echimi topilsin. (Bunda   0,   3i )
bo'lmagan
differensial
y  9 y  0 va uning ildizlari
k1  3i , k2  3i va bu ildizlar tenglamaning o'ng
Yechish: Bu tenglamani xarakteristik tenglamasi
qo'shma kompleks sonlar bo'lib, ya'ni
tomoniga karralidir. Bunday holda, bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
y  C1  cos 3x  C2  sin 3x
bo'ladi.
Bir
jinsli
bo'lmagan
y  x   A cos3x  B sin 3x 
*
tenglamaning
xususiy
ko'rinishda qidiramiz. U holda
yechiminini
y
*
esa
dan birinchi va
ikkinchi tartibli hosila olamiz,
 y   A cos3x  B sin 3x  3 Ax sin 3x  3Bx cos3x
*
 y   3 A sin 3x  3B cos3x  3 A sin 3x  3B cos3x  9 Ax cos3x  9Bx sin 3x
*
Ularni berilgan tenglamaga qo'ysak,
 y   9 y   cos3x  2 sin 3x дан


 6 A cos3x  6B sin 3x  cos3x  2 sin 3x
tenglikni hosil qilamiz, bu erdagi A va B o'zgarmas sonlarni noaniq koeffisientlar usulidan
foydalanib topamiz, ya'ni:
1

A


 6 A  1 
6


 6 B  2  B   1

3
Bir jinsli bo'lmagan tenglamaning umumiy yechimi
1
1

y  y  y *  C1  cos 3x  C2  sin 3x  x cos 3x  sin 3x 
3
6

bo’ladi.
16