Facultad de Ingeniería - Ingeniería IndustrialInformática-Telecomunicaciones
Cátedra PyE2 – Año 2022
Trabajo Práctico N°1: Distribuciones especiales de
Probabilidad.
Unidad(es) de Aprendizaje(s)
Unidad Didáctica 1: Distribuciones especiales de Probabilidad.
Resultado(s) de Aprendizaje(s)
● Identificar y clasificar variables aleatorias deteminando e interpretando medidas
que la caracterizan.
● Resolver distintas situaciones problemáticas, identificando la variable aleatoria
que las modele, sus parámetros, los datos, y cálculando probabilidades a partir de
ella
Presentación
En este práctico trabajarás con algunos tipos especiales de variables aleatorias
encontradas con frecuencia en las aplicaciones. Se presentan variables aleatoria como
la Finomial, Hipergeométrica, Poisson y Normal. La resolución de los ejercicios los
puedes hacer en forma individual, de contar con un aula grande sería conveniente el
trabajo grupal.
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Descripción de las actividades o consignas de trabajo
Ejercicio 1: Se considera una v.a. cuya distribución es binomial del tipo Bi(4,1/3). Se pide:
a) Determinar y representar gráficamente su función de masa de probabilidad.
b) Determinar y representar la función de distribución F(x)
c) Calcular P(1 X 3) y P(1 X 3)
Ejercicio 2: En cada uno de los incisos defina la variable, su recorrido y resuelva:
a) Veinte palomas vuelan hacia 3 nidos. Cada una de ellas se ubicará en forma aleatoria en alguno
de los nidos, además una paloma se ubica en forma independiente de lo que hicieron o harán las
otras. Calcule las siguientes probabilidades:
i. Exactamente 4 palomas se ubican en el primer nido.
ii. A lo sumo cuatro palomas se ubican en el primer nido.
iii. Al menos cuatro palomas se ubican en el primer nido.
b) Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que
cruces.
c) La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la
probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que
acierte por lo menos en una ocasión?
d) En una urna hay 15 bolas, 5 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es
roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 4 veces. Calcular la media y la desviación típica.
e) Un equipo de trabajo de 5 personas se va a seleccionar de entre cinco hombres y tres mujeres.
Si la variable aleatoria es el número de hombres en el equipo, ¿cuál es la distribución de
probabilidad asociada?
f) En una urna hay 15 bolas, 5 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es
roja; el proceso se repite, no devolviendo la bola, 4 veces. Calcular la media y la desviación
típica.
Ejercicio 3: Si la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta
delgada a 10 atm de presión es de 0.40, si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones,
determine la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos
se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.
Ejercicio 4: Suponga que para un embarque muy grande de chips de circuitos integrados, la
probabilidad de falla para cualquier chip es 0.10. Suponga que se cumplen las suposiciones en
que se basan las distribuciones binomiales y encuentre la probabilidad de que a lo más tres chips
fallen en una muestra aleatoria de 20.
Ejercicio 5: Minuciosos estudios han permitido establecer que el 20% de los tornillos fabricados
por una cierta máquina son defectuosos. Si se eligen al azar 7 tornillos fabricados por ella, hállese
la probabilidad de que:
a) Ninguno sea defectuoso
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b) Por lo menos tres sean defectuosos
c) Haya entre 3 y 5 defectuosos.
Ejercicio 6: La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda
de 2 dB (decibeles) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determine la
probabilidad de que:
a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB
b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB
c) entre 4 y 6 amplificadores no se excedan de los 2 dB
Encuentre el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2dB y
su desviación estándar.
Ejercicio 7:
7.1 Suponga que el 20 por ciento de los componentes fabricados por una planta no pasan un
control de calidad. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 15 componentes
consecutivos a lo sumo 8 no pasen la prueba?
7.2 Un lote de 1000 artículos contiene 900 “buenos” y 100 “defectuosos”. Una muestra
aleatoria de tamaño n = 10 se extrae del lote. Indique la variable aleatoria para responder
cada una de las siguientes situaciones y calcula la probabilidad solicitada. ¿Cuál es la
probabilidad de observar en la muestra al menos 8 artículos buenos,
(i) cuando el muestreo es con reemplazo?
(ii) cuando el muestreo es sin reemplazo?
Ejercicio 8: Una industria recibe un gran lote de productos semielaborados en lotes de gran
número de unidades. Se desea preparar un plan de control de calidad de tal forma que tomando
n unidades del lote, si se observa una unidad defectuosa, se rechaza el lote. Determina el valor
de 𝑛 para que si el lote tiene un 5 por mil o más de unidades defectuosas, la probabilidad de
aceptarlo sea menor del 1%.
Ejercicio 9: En un almacén particular los clientes llegan al mostrador conforme una distribución
de Poisson con un promedio de siete por hora. En una hora dada, cuál es la probabilidad de que:
a) No lleguen más de tres clientes,
b) Lleguen al menos dos clientes
c) Lleguen exactamente cinco clientes.
Ejercicio 10:
a) Una telefonista de una importante empresa puede atender como máximo 5 llamadas por
minuto. Si la distribución de llamadas es Poisson con un promedio de 3 llamadas por minuto.
¿Cuál es la probabilidad de que, en un minuto cualquiera, la telefonista reciba más llamadas de
las que puede atender?
b) Suponga que la cantidad de pulsos que llegan a un contador en un intervalo fijo de tiempo
sigue una distribución de Poisson a una tasa promedio de 6 por minuto. a) Halle la probabilidad
de que en 30 segundos se reciba por lo menos un pulso. b) ¿Cuál es el número esperado de pulsos
recibidos durante 2 minutos?
c) El número de imperfecciones que tiene una placa fotográfica sigue la distribución de Poisson
de parámetro 0.1 imperfecciones por cm². a) Si de tal placa se toma una muestra de 40cm², ¿cuál
es la probabilidad de que esa muestra contenga exactamente 2 irregularidades? b) Si ahora se
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toman en forma independiente 5 muestras de 30cm² de área cada una, ¿cuál es la probabilidad
de que exactamente una de ellas no contenga ninguna irregularidad?
Ejercicio 11: Se sabe que el 5% de los libros encuadernados en cierto taller tienen
encuadernaciones defectuosas. Determine la probabilidad de que 2 de 100 libros encuadernados
en ese taller, tengan encuadernaciones defectuosas, usando, a) la fórmula de la distribución
Binomial, b) la aproximación de Poisson a la distribución Binomial.
Ejercicio 12: Supongamos que el tiempo que lleva ensamblar un módulo plástico en una
industria automotriz está entre 27 y 39 segundos y que los tiempos de ensamble están
uniformemente distribuidos.
a) Describa la distribución estableciendo la función de densidad de probabilidad y calcule su
esperanza y desvío estándar.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ensamble en particular dure entre 30 y 35 segundos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que dure menos de 30 segundos?
Ejercicio 13: Dada una distribución normal estándar
i) encuentre el área bajo la curva que está
(a) a la izquierda de z  1.49 ;
(b) a la derecha de z  0.96 ;
(c) entre z  1.32 y z  0.57 ;
(d) a la izquierda de z  1.39 ;
ii) halla:
a) P(Z ≤ 1.15)
b) P(Z > -1.01)
c) P( 1.05 <Z ≤ 4.27)
Ejercicio 14: Dada una distribución normal estándar, encuentre el valor de k tal que
(a) P( Z  k )  0.9573 ;
(b) P( Z  k )  0.0028 ;
(c) P(0.93  Z  k )  0.7235 .
Ejercicio 15: Sea 𝑋 ~ 𝑁(16, 25)
a) Calcule utilizando la tabla:
i) 𝑃(𝑋 ≥ 17) ii) 𝑃(𝑋 ≤ 14) iii) 𝑃(13 < 𝑋 ≤ 14)
iv) 𝑃(𝑋 = 16)
b) Encuentra el valor de 𝑎 tal que
i) 𝑃(𝑋 < 𝑎) = 0.75 ii) 𝑃(𝑋 ≥ 𝑎) = 0.6 iii) 𝑃(|𝑋 – 16| < 𝑎) = 0.95
Ejercicio 16: De una variable normal 𝑁(µ; 𝜎2) se sabe que 𝑃(𝑋 ≤ 7) = 0.9772 y 𝑃(𝑋 ≤
6.5) = 0.8413. Calcula:
a) µ y σ.
b) P(5.65 ≤ X ≤ 6.25)
c) El número k tal que P(X>k)=0.3
Ejercicio 17:
a) Una empresa constructora que contaba con 8.000 obreros había efectuado un relevamiento de
los ingresos mensuales percibidos por este personal. El histograma de frecuencias mostró una
distribución bastante simétrica de los salarios por lo que puede suponerse que los ingresos
mensuales se distribuyen normalmente.
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Además, pudo estimarse que, en promedio, los trabajadores cobraban $ 280 con una desviación
estándar de $ 70.
La empresa aumentó su personal en 2.000 obreros distribuidos en todos los sectores y, para
lograr una mayor eficiencia, se plantea una reestructuración de gastos. Por lo tanto, necesita
contar con información referente a sueldos del personal.
De acuerdo a la nueva estructura laboral que mantienen los mismos valores de μ y σ, cuántos
trabajadores ganan:
a) ¿Menos de $ 196?
b) ¿Menos de $ 420?
c) ¿Más de $ 222?
d) ¿Más de $ 448?
e) ¿Entre $ 196 y $ 222?
f) ¿Entre $ 140 y $
Ejercicio 18: Se regula una máquina despachadora de refresco para que sirva un promedio de
200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación
estándar igual a 15 mililitros,
(a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?
(b) ¿cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?
(c) ¿cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las
siguientes 1000 bebidas?
(d)¿por debajo de qué valor obtendremos 25% de las bebidas más pequeñas?
Ejercicio 19: La distribución de la demanda (en número de unidades por unidad de tiempo) de
un producto a menudo puede aproximarse con una distribución de probabilidad Normal. Por
ejemplo, una compañía de comunicación por cable ha determinado que el número de
interruptores terminales de botón solicitados diariamente tiene una distribución Normal, con una
media de 200 y una desviación estándar de 50.
a) ¿En qué porcentaje de los días la demanda será de menos de 90 interruptores?
b) ¿En qué porcentaje de los días la demanda estará entre 225 y 275 interruptores?
c) Con base en consideraciones de costos, la compañía ha determinado que su mejor estrategia
consiste en producir una cantidad de interruptores suficiente para atender plenamente la demanda
en 94% de todos los días. ¿Cuantos interruptores terminales deberá producir la compañía cada
día?
Ejercicio 20: Una fábrica produce pieza cuyos diámetros son variables con distribución Normal
con un diámetro medio de 5cm y una desviación estándar de 0,001cm. El diámetro de los mismos
debe encontrarse entre 4,998cm y 5,002cm. Las piezas de baja medida deberán desecharse y las
que estén en sobre medida pueden reprocesarse a un costo de 5$/unidad.
a) ¿Qué porcentaje de las piezas deberá desecharse?
b) Se estima para el mes próximo una producción de 20.000 unidades y se desea saber cuál es el
costo adicional de aquellas unidades que deban ser reprocesadas.
Ejercicio 21: En un molino harinero, una máquina automática envasa el producto en bolsas cuyo
peso neto tiene distribución Normal con media 800g y desvío estándar 20g. La secretaría de
Comercio realiza una inspección y elige al azar 30 bolsas, aplicando una multa si encuentra
alguna bolsa con peso neto inferior a 750g.
a) ¿Cuál es la probabilidad de tal evento?
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b) ¿Qué porcentaje de las bolsas supera los 840g?
Ejercicio 22: Los diámetros internos de ciertos tubos de acero están normalmente distribuidos
con μ = 10 pulgadas y σ = 0,10 pulgadas.
Debido a las especificaciones fijadas por el Departamento de Diseño de Productos, los tubos con
diámetros internos fuera del intervalo 10,05 ± 0,12 pulgadas se consideran defectuosos.
En base a las especificaciones técnicas, el Departamento de Control de Calidad desea estimar:
a) La probabilidad de que un tubo producido sea defectuoso.
b) Si se centra el proceso de producción modificando la performance de una máquina que
experimentaba señales de desgaste de manera tal que los diámetros internos tengan ahora una
media μ = 10,1 pulgadas, ¿cuál será la probabilidad de que un tubo producido sea defectuoso?
c) Si se logra reducir la variabilidad del proceso por medio de la introducción de una máquina
automática logrando una desviación estándar σ = 0,06 pulgadas y se centra el proceso en μ =
10,05 pulgadas, ¿cuál es la probabilidad de que un tubo producido sea defectuoso?
Recursos y lugar de aprendizaje
Los recursos que puede utilizar para realizar este práctico son:
● Presentación de las clases correspondientes, apuntes tomados en clase,
tablas de distribuciones, calculadoras online, Geogebra y el uso del libro
Probabilidad y Estadística para Ingenieros -Walpole-Myers o Probabilidad
y Estadística para Ingeniería y Ciencias -Ross.
● Resolución en aula y en casa.
Tiempo estimado de realización
El tiempo estimado para completar este trabajo es:
Horas presenciales
6
Horas de trabajo autónomo 4
Tiempo total
10