HW 3 - Materialelære
4.6
a)
Beregn radius r af en urenheds atom der passer på en FCC oktaedrisk plads med hensyn til
atomradius R af værtatomet (uden at introducere pres på gitteret):
En atom på en oktaedrisk plads i en FCC unit cell, der ikke introducerer pres på gitteret vil enten
være placeret på kanten mellem to hjørneatomer eller i midten af unit cellen. Der ses på et atom midt
mellem to hjørneatomer. situationen skitseres nedenfor. Længden af kanten i en FCC unit cell
a = 2 R 2 er hentet fra side 90 ligning 3.1 i bogen.
Det er også givet af skitsen at længden af kanten kan udtrykkes ved a = 2 R C 2 r. De to udtryk for
længden sættes lig hinanden og r isoleres
2 R 2 = 2 RC2 r ⇒ 2 r = 2 R 2 K2 R ⇒ r =
2 R 2 K2 R
=R
2
2 K R = 0.4142 R
Så radius r af en urenheds atom, udtrykt ved R, på en oktaedrisk plads i en FCC unit cell er,
r = 0.4142 R
b)
Udfør samme beregning for en atom på en tetrahedral plads i en FCC unit cell:
skitse:
Skitsen giver følgende ved pythagoras
a
2
2
C
a
4
2
= RCr
2
Hvor a = 2 R 2 (længden af kanten på en FCC unit cell). Det indsættes og r isoleres
2R 2
2
2
C
2R 2
4
2
= RCr
2
solutions for r
K1 C
10
2
R, K1 K
10
2
R
Da radius ikke kan være negativ er kun den første løsning brugbar, hvilket giver
r = 0.5812 R
Så radius r af en urenheds atom, udtrykt ved R, på en tetrahedral plads i en FCC unit cell er,
r = 0.5812 R
4.22
a)
For Si hvor der er tilsat 6.5$1021
atomer
fosfor (P), beregn vægtprocenten af P:
m3
wt% bestemmes med formel 4.22 (side P-12) som er givet ved
C1 =
1C
100
NA$r2
r2
K
N1$A1 r
1
For at bestemme wt% af P kræves følgende værdier som alle er taget fra Wikipedia, undtagen NP
g
AP d 30.973762
:
mol
NA d 6.022$1023 molK1 :
g
rSi d 2.3290
:
cm3
1
NP d 6.5$1015
:
cm3
g
rP d 1.823
:
cm3
wt% bestemmes nu
CP d
100
NA$rSi
rSi
1C
K
NP$AP r
P
= 1.43$10K5 wt%
Så wt% af P er 1.43$10K5wt%
b)
Beregn atom procenten af P i blandingen:
For at konvertere fra vægt procent til atom procent benyttes formel 4.6a
C1' =
C1$A2
C1$A2 C C2$A1
$100
A2 og C2 er ukendte og skal bestemmes først. Da blandingen består af 2 stoffer skal vægtprocenten
af de to stoffer være lig 100. Så vægtprocenten af Si er
C2 d 100 K 1.43$10K5 = 99.99998570
Atommassen A2 af Si er givet på Wikipedia til at være A2 d 28.085 :
Atom procenten bestemmes
C1' d
CP$A2
= 1.30 $10K5at%
CP$A2 C C2$AP
Så atom procenten af P i blandingen er 1.30$10K5at%
6.7
Der er givet følgende to udtryk for bindingsenergien og elasticitetsmodulet
A
B
EN =K C n
r
r
dF
dr
Ef
1
2
r
0
Udled et udtryk for afhængigheden mellem elasticitetsmodulet E og A, B og n parametrene:
Der gælder at
F=
dEN
dr
EN indsættes og udtrykket reduceres
F=
Nu bestemmes den afledte
d
A
K
dr
r
C
d
dr
B
n
r
=
A
2
r
K
Bn
rnr
(3)
dF
dr
dF
d
=
dr
dr
A
r2
d
K
dr
B$n
rn$r
Så sættes (3) lig nul og et udtryk for r0 bestemmes
2A
B n2
Bn
=K 3 C n 2 C n 2
r
r r
r r
Bn
A
nK 1
ln
A
r02
B$n
K
solutions for r[0]
=0
r0nr0
e
Så
Bn
A
nK 1
ln
r0 = e
udtrykket for r0 substitueres ind i udtrykket for
dF
=K
dr
2$A
3
Bn
A
nK1
ln
e
=Bn
B$n2
C
n
Bn
A
nK 1
ln
e
$ e
nC1
2
Bn
A
nK1
ln
Kn
1
nK1
Bn
A
dF
og det reduceres
dr
Bn
A
B$n
C
n
Bn
A
nK 1
ln
e
2
K
nK 1
K2 A
$ e
Bn
A
Bn
A
nK1
ln
2
3
K
nK 1
Så udtrykket for E bliver
EfBn
1
nK 1
Bn
A
Kn
nC1
Bn
A
2
K
nK 1
K2 A
Bn
A
3
K
nK 1
6.8
Løsningen fra 6.7 benyttes for at bestemme størrelsen af elasticitetsmodulet for følgende tre
hypotetiske materialer
Materiale
X
A
1.5
B
7.0$10K6
n
8
Y
2.0
1.0$10K5
9
Z
3.5
4.0$10K6
7
B d 4.0$10K6 :
A d 3.5 :
nd7:
Elasticitetsmodulerne beregnes
EX d B n
Bn
A
1
nK 1
Kn
nC1
Bn
A
2
K
nK1
K2 A
Bn
A
3
K
nK1
= 829.5873354
EY d B n
EZ d B n
1
nK 1
Bn
A
Kn
nC1
1
nK 1
Bn
A
Bn
A
Kn
nC1
Bn
A
2
K
nK1
K2 A
2
K
nK1
K2 A
Bn
A
Bn
A
3
K
nK1
= 682.5984372
3
K
nK1
= 7424.621221
Så de 3 elasticitetsmoduler er EX = 830 , EY = 683 , EZ = 7425
6.14
En 500 mm lang cylindrisk stang med en diameter på 12.7 mm udsættes for en trækbelastning.
Stangen deformerer ikke plastisk og strækkes ikke mere end 1.3 mm når den påførte kraft er 29000
N. Hvilken af følgende metaller/legeringer der er mulige kandidater til ovenstående trækbelastning,
bestemmes:
Materiale
Aluminium
legering
Messing
legering
Kobber
Stål legering
Elasticitetsmodu Flydegrænse Brudstyrke
l (GPa)
(MPa)
(MPa)
70
255
420
Der er givet
Dl d 1.3mm :
l0 d 500mm :
F d 29000N :
12.7mm
A0 d p$
2
100
345
420
110
207
210
450
275
550
2
:
Materialet må ikke plastisk deformere under den givne belastning, hvilket betyder at det skal have en
flydegrænse højere end belastningen på stangen. Belastningen beregnes
sd
F
= 228.9289280 MPa
A0
Det betyder altså at det kun er kobber der ikke er en kandidat i forhold til den plastiske deformation,
da kobbers flydegrænse ligger under den belastning stangen er udsat for.
Stangen må ikke strækkes mere end 1.3 mm under belastningen, så deformationen af de forskellige
materialer under den givne belastning skal bestemmes. Der gælder følgende lighed (6.5), hvor Dl
isoleres
s = E$
Dl
l0
⇒ Dl =
s
$l
E 0
Deformationen af de 4 materialer kan nu bestemmes
s
$l = 1.635206629 mm
70GPa 0
s
lMes d
$l = 1.144644640 mm
100GPa 0
s
lKob d
$l = 1.040586036 mm
110GPa 0
s
lStål d
$l = 0.5529684251 mm
207GPa 0
lalu d
Så det er kun aluminium der ikke er en kandidat i forhold til deformations kriteriet.
Altså er det kun messing legeringen og stål legeringen der kan være kandidater til at være det
ukendte materiale.