Complex Numbers and Basic Properties (Benjamin C. Kuo)
(Kompleks Sayılar ve Temel Özellikleri)
Rectangular Form (Kartezyen Biçim)
A complex number is represented in rectangular form.
Rectangular Form: 𝑧 = 𝑥 + 𝑗𝑦
where,
𝑗 = √−1 , (𝑗 2 = −1, 𝑗 3 = −𝑗, 𝑗 4 = +1)
(x, y) are real and imaginary coefficients of z respectively
𝑥 = 𝑅𝑒{𝑧}, 𝑦 = 𝐼𝑚{𝑧}
We can treat (x, y) as a point in the Cartesian coordinate frame.
Complex number z representation in
Rectangular and Polar forms
(Cartesian coordinate frame)
Polar Form (Kutupsal Biçim)
Rectangular coordinate frame may also be defined by a vector R and an angle .
𝑥 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃,
𝑦 = 𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃
R = magnitude of z=z and  =phase of z  is measured from the x axis.
𝑅 = |𝑧| = √𝑥 2 + 𝑦 2 ,
𝑦
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥
Positive phase is in counter clockwise direction.
R
y

x
Polar Form: 𝑧 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑅(𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜃),
or substituting (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑠𝑖𝑛𝜃) → 𝜃
Polar Form: 𝑧 = 𝑅𝜃
Exponential Form (Üstel Biçim)
Using Euler Formula: 𝑒 𝑗𝜃 = 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑗𝑠𝑖𝑛𝜃
Polar Form may also be represented in exponential form as
Exponential Form: 𝑧 = 𝑅𝑒 𝑗𝜃 ,
or substituting 𝑒 𝑗𝜃 → 𝜃
Polar Form: 𝑧 = 𝑅𝜃
Düzenleyen: Prof. Dr. Herman Sedef (YTÜ)
V6
Conjugate of the Complex Number (Kompleks Sayının Eşleniği)
𝑧 ∗ = 𝑥 − 𝑗𝑦 = 𝑅𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑗𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑅𝑒 −𝑗𝜃 = 𝑅 − 𝜃,
𝑧 ∙ 𝑧 ∗ = |𝑧|2 = 𝑅 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2
Basic Properties of Complex Numbers (Kompleks Sayıların Temel Özellikleri)
CASIO fx-82MS ve fx-82ES Hesap Makinesi ile Koordinat Dönüşümleri
Uyarı: Makine derece modunda olmalıdır! Bu durumda ekranda D harfi görülür.
CASIO fx-82ES’ te RCL E ve RCL F yapmaya gerek yoktur (x, y) veya (r, ) çifti ekranda aynı anda görülür.
Kutupsaldan-Kartezyene Dönüşüm (Pol Rec)
Düzenleyen: Prof. Dr. Herman Sedef (YTÜ)
Kartezyenden-Kutupsala Dönüşüm (RecPol)
V6